Sejam dois pontos A=(2,0) e B=(0,1) em um plano cartesiano com ponto de origem O, e seja measuredang<= A O Pn=thetan e Pn o ponto que divide o segmento A B na razão 1n,(n in N e 0<thetan<pi2). Seja elln o comprimento do segmento A Pn. Determine o valor do limite de lim n +infty ellnthetan square
Mostre, inicialmente, a lei dos cossenos: Dado um triângulo triang<= A B C de modo que a medida do segmento A B é igual a a, a medida do segmento A C é igual a b, a medida do segmento B C é igual a c e a medida do ângulo A C B é igual a theta. Então
a^2=b^2+c^2-2 b c cos (theta)

Passo 1

O enunciado fixa os pontos A=(2,0), B=(0,1) e define Pn como o ponto que divide AB na razão
APnPnB=1n, ninN
Chamamos elln=APn e thetan=measuredang<= AOPn. O objetivo é calcular
limntoinftyellnthetan
Para isso vamos usar primeiro a Lei dos Cossenos para expressar costhetan em termos dos lados do triângulo AOPn, depois obter thetan e finalmente o limite.

Passo 2

Prova da Lei dos Cossenos. Seja triang<= ABC com lados BC=a, AC=b, AB=c e ang<= ACB=theta. Traçando a altura de C em AB, separam-se dois triângulos retângulos, de tal modo que, somando as projeções, obtemos
b^2=h^2+x^2, c^2=h^2+(a-x)^2,
onde x=ACcostheta e h=ACsintheta. Subtraindo as duas igualdades dá
b^2-c^2=x^2-(a-x)^2=2ax-a^2,
isto é,
a^2=b^2+c^2-2bccostheta

Passo 3

Coordenadas de Pn pela fórmula do ponto que divide AB em razão 1:n:
Pn=nA + 1cdot Bn+1 =gl(2nn+1,,1n+1gr)

Passo 4

Comprimento elln=APn. Como
A=(2,0), Pn=l(2-tfrac2n+1,;tfrac1n+1r),
então
elln =raizl(-tfrac2n+1r)^2+l(tfrac1n+1r)^2 =raiz4+1n+1 =raiz5n+1

Passo 5

Aplicando a Lei dos Cossenos ao triângulo AOPn:
costhetan =OA^2+OPn^2-APn^22cdot OAcdot OPn
Aqui OA=2 e
OPn^2 =l(tfrac2nn+1r)^2+l(tfrac1n+1r)^2 =4-8n+1+5(n+1)^2
Fazendo as contas nota-se que isso leva a
costhetan=2-tfrac2n+1,OPn, =xnrn, sinthetan=ynrn,
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tanthetan =sinthetancosthetan =ynxn =tfrac1n+1tfrac2nn+1 =12n

Passo 6

Para ntoinfty temos thetanto0 e a equivalência thetansimtanthetan
ellnthetan sim tfracraiz5n+1tfrac12n = raiz5,2n,n+1, ;xrightarrow[ntoinfty];2raiz5

Resposta

limn+inftyellnthetan=2raiz5

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