Sejam dois pontos
e
em um plano cartesiano com ponto de origem
, e seja
e
o ponto que divide o segmento
na razão
e
. Seja
o comprimento do segmento
. Determine o valor do limite de
Mostre, inicialmente, a lei dos cossenos: Dado um triângulo
de modo que a medida do segmento
é igual a
, a medida do segmento
é igual a
, a medida do segmento
é igual a
e a medida do ângulo
é igual a
. Então
Passo 1
O enunciado fixa os pontos
,
e define
como o ponto que divide
na razão
Chamamos
e
. O objetivo é calcular
Para isso vamos usar primeiro a Lei dos Cossenos para expressar
em termos dos lados do triângulo
, depois obter
e finalmente o limite.
Passo 2
Prova da Lei dos Cossenos. Seja
com lados
,
,
e
. Traçando a altura de
em
, separam-se dois triângulos retângulos, de tal modo que, somando as projeções, obtemos
onde
e
. Subtraindo as duas igualdades dá
isto é,
Passo 3
Coordenadas de
pela fórmula do ponto que divide
em razão
:
Passo 4
Comprimento
. Como
então
Passo 5
Aplicando a Lei dos Cossenos ao triângulo
:
Aqui
e
Fazendo as contas nota-se que isso leva a
logo
Passo 6
Para
temos
e a equivalência
dá