a) (1,0). Mostre que a equação
y+y^3=x^2+2 x z+2 z^2
define, numa vizinhança do ponto (0,0,0), y como função de x e z, isto 仑, y=f(x, z),
b) (0,5). Calcule a derivada de f, no ponto (0,0)

Passo 1

Temos a equação implícita
F(x,y,z)=y+y^3-x^2-2xz-2z^2=0
O conteúdo aqui é o Teorema da Função Implícita. Vamos precisar checar se partial F/partial y no ponto dado é diferente de zero para garantir que podemos resolver para y como função de (x,z).

Passo 2

Calculamos a derivada parcial de F em relação a y e avaliamos em (x,y,z)=(0,0,0):
partial Fpartial y=1+3y^2,
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partial Fpartial y(0,0,0)=1+3cdot0^2=1neq0
Isso, pelo Teorema da Função Implícita, garante a existência de uma função y=f(x,z) em vizinhança de (0,0).

Passo 3

Agora diferenciamos implicitamente F(x,f(x,z),z)=0. Para x:
partial Fpartial x+partial Fpartial y,fx=0
Ou seja
-2x-2z+(1+3y^2),fx=0
De onde
fx(x,z)=2x+2z1+3y^2

Passo 4

De modo análogo, diferenciando em relação a z:
partial Fpartial z+partial Fpartial y,fz=0
Isso dá
-2x-4z+(1+3y^2),fz=0
Portanto
fz(x,z)=2x+4z1+3y^2
Agora basta avaliar em (x,z,y)=(0,0,0) para encontrar as derivadas no ponto.

Passo 5

Substituindo x=0, z=0 e y=f(0,0)=0 nas fórmulas acima, obtemos
fx(0,0)=2cdot0+2cdot01+3cdot0^2=0,
fz(0,0)=2cdot0+4cdot01+3cdot0^2=0

Passo 6

Assim mostramos que há uma função implícita y=f(x,z) perto de (0,0) e calculamos suas derivadas parciais em (0,0).

Resposta

fx(0,0)=0 e fz(0,0)=0

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