a)
. Mostre que a equação
define, numa vizinhança do ponto
como função de
e
, isto
,
b)
. Calcule a derivada de
, no ponto
b)
Passo 1
Temos a equação implícita
O conteúdo aqui é o Teorema da Função Implícita. Vamos precisar checar se
no ponto dado é diferente de zero para garantir que podemos resolver para
como função de
.
Passo 2
Calculamos a derivada parcial de
em relação a
e avaliamos em
:
logo
Isso, pelo Teorema da Função Implícita, garante a existência de uma função
em vizinhança de
.
Passo 3
Agora diferenciamos implicitamente
. Para
:
Ou seja
De onde
Passo 4
De modo análogo, diferenciando em relação a
:
Isso dá
Portanto
Agora basta avaliar em
para encontrar as derivadas no ponto.
Passo 5
Substituindo
,
e
nas fórmulas acima, obtemos
Passo 6
Assim mostramos que há uma função implícita
perto de
e calculamos suas derivadas parciais em
.