a) (1,5). Mostre que o sistema de equações cx+y^3-z^4=2 z^2+x z+x y=5
Define y e z como funções de x, numa vizinhança do ponto (x, y, z)=(2,1,1);
b) (1,0). Calcule d yd x(2) e d zd x(2)

Passo 1

Temos o sistema
F(x,y,z)=x+y^3-z^4-2=0 G(x,y,z)=z^2+xz+xy-5=0
Queremos, perto do ponto (2,1,1), ver se dá para resolver para y e z em função de x usando o Teorema da Função Implícita.

Passo 2

Calculamos a matriz jacobiana de (F,G) em relação a (y,z):
J(y,z)= Fy & Fz Gy & Gz =3y^2 & -4z^3 x & 2z+x
Em (2,1,1) isso vale
J(y,z)(2,1,1)=3 & -4 2 & 4,
com determinante 3·4−(−4)·2=12+8=20≠0. Pelo Teorema da Função Implícita, existem funções y(x),z(x) num entorno de x=2.

Passo 3

Diferenciando implicitamente em relação a x temos
1+3y^2y'-4z^3z'=0
e
(z+y)+xy'+(2z+x)z'=0,
onde escrevemos y′=dy/dx e z′=dz/dx. Esse é um sistema linear para y′ e z′.

Passo 4

No ponto (2,1,1) as equações ficam
3y'-4z'=-1
2y'+4z'=-2
Resolvendo, achamos
z'=-tfrac15,
y'=-tfrac35

Resposta

As funções y(x) e z(x) existem perto de x=2 e em x=2 valem dy/dx=-3/5 e dz/dx=-1/5.

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