a) (1,5). Mostre que o sistema de equações
Define
e
como funções de
, numa vizinhança do ponto
;
b)
. Calcule
e
b)
Passo 1
Temos o sistema
Queremos, perto do ponto (2,1,1), ver se dá para resolver para y e z em função de x usando o Teorema da Função Implícita.
Passo 2
Calculamos a matriz jacobiana de (F,G) em relação a (y,z):
Em (2,1,1) isso vale
com determinante 3·4−(−4)·2=12+8=20≠0. Pelo Teorema da Função Implícita, existem funções y(x),z(x) num entorno de x=2.
Passo 3
Diferenciando implicitamente em relação a x temos
e
onde escrevemos y′=dy/dx e z′=dz/dx. Esse é um sistema linear para y′ e z′.
Passo 4
No ponto (2,1,1) as equações ficam
Resolvendo, achamos
Resposta
As funções y(x) e z(x) existem perto de x=2 e em x=2 valem
dy/dx=-3/5 e
dz/dx=-1/5 .