Mostre que as equações abaixo não são exatas, mas tornam-se exatas se forem multiplicadas por um fator integrante. Depois resolva as equações.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que a equação diferencial
não é exata, encontrar um fator integrante que a torne exata e, em seguida, resolver essa equação exata.
Passo 2
Para testar a exatidão, identificamos
e
. Calculamos as derivadas parciais:
e
. Como
, a equação não é exata.
Passo 3
Procuramos um fator integrante que dependa só de
. Usamos o critério
Passo 4
Multiplicamos a equação original por
, obtendo:
Agora
e
. Verificamos a exatidão:
e
, logo a equação é exata.
Passo 5
Para resolver, buscamos uma função potencial
tal que:
Integrando em relação a
:
Depois usamos
para achar
. Integrando:
Logo,
que é a solução implícita da equação. Concluímos que o fator integrante é
e a solução geral está dada pela constante de nível de
.