Mostre que as equações abaixo não são exatas, mas tornam-se exatas se forem multiplicadas por um fator integrante. Depois resolva as equações.
y d x+(2 x-y e^y) d y=0

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a equação diferencial y,dx+(2x - y e^y),dy=0 não é exata, encontrar um fator integrante que a torne exata e, em seguida, resolver essa equação exata.

Passo 2

Para testar a exatidão, identificamos M(x,y)=y e N(x,y)=2x - y e^y. Calculamos as derivadas parciais: partial M/partial y=1 e partial N/partial x=2. Como 1neq2, a equação não é exata.

Passo 3

Procuramos um fator integrante que dependa só de y. Usamos o critério
mu(y)=expl(integral partial N/partial x-partial M/partial yM,dyr)=expl(integral 2-1y,dyr)=exp(ln|y|)=y

Passo 4

Multiplicamos a equação original por y, obtendo:
y^2,dx+(2xy - y^2 e^y),dy=0
Agora tilde M=y^2 e tilde N=2xy - y^2 e^y. Verificamos a exatidão: partialtilde M/partial y=2y e partialtilde N/partial x=2y, logo a equação é exata.

Passo 5

Para resolver, buscamos uma função potencial Phi(x,y) tal que:
partialPhipartial x=y^2
Integrando em relação a x:
Phi(x,y)=x y^2 + h(y)
Depois usamos
partialPhipartial y=2xy + h'(y)=2xy - y^2 e^y
para achar h'(y)=-y^2 e^y. Integrando:
h(y)=-integral y^2 e^y,dy=-e^y(y^2-2y+2)
Logo,
Phi(x,y)=x y^2 - e^y(y^2-2y+2)=C,
que é a solução implícita da equação. Concluímos que o fator integrante é mu(y)=y e a solução geral está dada pela constante de nível de Phi(x,y).

Resposta

x y^2 - e^y (y^2 - 2y + 2) = C

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