Mostre que as equações de Cauchy-Riemann são válidas para cada z \in \mathcal{C} no caso das funções:
f(z)=z e^{z}.

Passo 1

O enunciado pede para mostrarmos que, para a função
f(z)=z\,e^{z},
as equações de Cauchy-Riemann valem para todo z\in\mathcal{C}. O conteúdo aqui é análise complexa: verificaremos as condições de Cauchy-Riemann a partir das partes real e imaginária de f.

Passo 2

Escrevemos z=x+iy e usamos
e^{z}=e^{x+iy}=e^{x}(\cos y+i\sin y).
Logo
f(z)=(x+iy)\,e^{x}(\cos y+i\sin y).
Multiplicando, obtemos as partes real u(x,y) e imaginária v(x,y):
u(x,y)=e^{x}\bigl(x\cos y - y\sin y\bigr),
v(x,y)=e^{x}\bigl(x\sin y + y\cos y\bigr).

Passo 3

Calculamos \partial u/\partial x e \partial v/\partial y. Primeiro,
\frac{\partial u}{\partial x} =\frac{\partial}{\partial x}\Bigl[e^{x}(x\cos y - y\sin y)\Bigr] =e^{x}(x\cos y - y\sin y)+e^{x}(\cos y)
\quad =e^{x}\bigl(x\cos y - y\sin y + \cos y\bigr) =e^{x}\bigl((x+1)\cos y - y\sin y\bigr).
Agora,
\frac{\partial v}{\partial y} =\frac{\partial}{\partial y}\Bigl[e^{x}(x\sin y + y\cos y)\Bigr] =e^{x}\bigl(x\cos y +\cos y - y\sin y\bigr)
\quad =e^{x}\bigl((x+1)\cos y - y\sin y\bigr).
Portanto
\frac{\partial u}{\partial x} =\frac{\partial v}{\partial y}.

Passo 4

Calculamos agora \partial u/\partial y e -\,\partial v/\partial x.
\frac{\partial u}{\partial y} =\frac{\partial}{\partial y}\Bigl[e^{x}(x\cos y - y\sin y)\Bigr] =e^{x}\bigl(-x\sin y -\sin y - y\cos y\bigr)
\quad =-\,e^{x}\bigl((x+1)\sin y + y\cos y\bigr).
E
\frac{\partial v}{\partial x} =\frac{\partial}{\partial x}\Bigl[e^{x}(x\sin y + y\cos y)\Bigr] =e^{x}(x\sin y + y\cos y)+e^{x}\sin y
\quad =e^{x}\bigl((x+1)\sin y + y\cos y\bigr).
Logo
-\,\frac{\partial v}{\partial x} =-\,e^{x}\bigl((x+1)\sin y + y\cos y\bigr) =\frac{\partial u}{\partial y}.

Passo 5

Como mostramos que
\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y} \quad\text{e}\quad \frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}
para todo (x,y), as equações de Cauchy-Riemann são válidas em toda a reta complexa.

Resposta

As equações de Cauchy-Riemann se satisfazem para f(z)=z\,e^{z} em todo z\in\mathcal{C}.

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