Mostre que as equações de Cauchy-Riemann são válidas para cada
no caso das funções:
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrarmos que, para a função
as equações de Cauchy-Riemann valem para todo
. O conteúdo aqui é análise complexa: verificaremos as condições de Cauchy-Riemann a partir das partes real e imaginária de
.
Passo 2
Escrevemos
e usamos
Logo
Multiplicando, obtemos as partes real
e imaginária
:
Passo 3
Calculamos
e
. Primeiro,
Agora,
Portanto
Passo 4
Calculamos agora
e
.
E
Logo
Passo 5
Como mostramos que
para todo
, as equações de Cauchy-Riemann são válidas em toda a reta complexa.
Resposta
As equações de Cauchy-Riemann se satisfazem para
em todo
.