Use as regras de derivação para calcular a derivada de
f(z)=\left(\frac{(1-i) z^{2}}{(1-i) z^{3}+i}\right)^{4}

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(z)=\Bigl(\frac{(1-i)\,z^{2}}{(1-i)\,z^{3}+i}\Bigr)^{4}.
O conteúdo que vamos usar é a regra da cadeia (para a potência quarta) e, internamente, a regra do quociente (para \dfrac{u(z)}{v(z)}).

Passo 2

Defina
u(z)=(1-i)\,z^{2}, \quad v(z)=(1-i)\,z^{3}+i,
de modo que
f(z)=\Bigl(\frac{u(z)}{v(z)}\Bigr)^{4}.

Passo 3

Pela regra da cadeia,
f'(z) =4\Bigl(\frac{u(z)}{v(z)}\Bigr)^{3}\,\bigl(\frac{u(z)}{v(z)}\bigr)'.

Passo 4

Agora aplicamos a regra do quociente em \bigl(\tfrac{u}{v}\bigr)':
\bigl(\tfrac{u}{v}\bigr)' =\frac{u'\,v - u\,v'}{v^{2}}.
Calculemos as derivadas de u e v:
u'(z)=2\,(1-i)\,z, \quad v'(z)=3\,(1-i)\,z^{2}.
Logo,
\bigl(\tfrac{u}{v}\bigr)' = \frac{2(1-i)z\bigl((1-i)z^{3}+i\bigr)\;-\; (1-i)z^{2}\,3(1-i)z^{2}} {\bigl((1-i)z^{3}+i\bigr)^{2}}.

Passo 5

Simplificando o numerador de \bigl(\tfrac{u}{v}\bigr)':
2(1-i)z\,(1-i)z^{3}=2(1-i)^{2}z^{4}, \quad (1-i)^{2}=-2i,
então
2(1-i)^{2}z^{4}=2(-2i)z^{4}=-4i\,z^{4},
e
-3(1-i)z^{2}\,(1-i)z^{2}=-3(1-i)^{2}z^{4}=-3(-2i)z^{4}=6i\,z^{4}.
Também
2(1-i)z\,i=2i(1-i)z=2i\,z-2i^{2}z=2i\,z+2z=2(1+i)z.
Somando, o numerador vira
(-4i\,z^{4}+6i\,z^{4})+2(1+i)z =2i\,z^{4}+2(1+i)z =2z\bigl(i\,z^{3}+1+i\bigr).
Portanto
\bigl(\tfrac{u}{v}\bigr)' =\frac{2z\bigl(i\,z^{3}+1+i\bigr)}{\bigl((1-i)z^{3}+i\bigr)^{2}}.

Passo 6

Substituindo em
f'(z) =4\Bigl(\frac{u}{v}\Bigr)^{3}\,\bigl(\tfrac{u}{v}\bigr)',
obtemos
f'(z) =4\;\frac{\bigl((1-i)z^{2}\bigr)^{3}}{\bigl((1-i)z^{3}+i\bigr)^{3}} \;\cdot\; \frac{2z\,\bigl(i\,z^{3}+1+i\bigr)}{\bigl((1-i)z^{3}+i\bigr)^{2}}.
Agrupando fatores:
f'(z) =\frac{8\,z\,\bigl((1-i)z^{2}\bigr)^{3}\,\bigl(i\,z^{3}+1+i\bigr)} {\bigl((1-i)z^{3}+i\bigr)^{5}} =8\;i\,(1-i)^{3}\, \frac{z^{7}\,\bigl(z^{3}+1-i\bigr)}{\bigl((1-i)z^{3}+i\bigr)^{5}},
onde na última igualdade usamos (1-i)^{3}=(1-i)\,(1-i)^{2}=(1-i)(-2i)=-2i(1-i) e reagrupamos em 8\,i\,(1-i)^{3}.

Resposta

f'(z) =8\,i\,(1-i)^{3}\, \frac{z^{7}\,\bigl(z^{3}+1-i\bigr)} {\bigl((1-i)\,z^{3}+i\bigr)^{5}}.

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