Mostre que a função
f(z)=\left\{\begin{array}{l} 0, \quad z=0 \\\ \frac{x^{3}-y^{3}}{x^{2}+y^{2}}+i \frac{x^{3}+y^{3}}{x^{2}+y^{2}} \end{array}\right.
não é diferenciável em z=0. Sugestão: considere os limites ao longo do eixo real ( X ) e ao longo da reta y=x.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a função
f(z)= \begin{cases} 0,&z=0,\\[6pt] \displaystyle\frac{x^{3}-y^{3}}{x^{2}+y^{2}}+i\,\frac{x^{3}+y^{3}}{x^{2}+y^{2}},&z=x+iy\neq0, \end{cases}
não é complexamente diferenciável em z=0. Para isso, vamos usar a definição de derivada em um ponto:
f'(0)=\lim_{z\to0}\frac{f(z)-f(0)}{z-0} =\lim_{z\to0}\frac{f(z)}{z},
e mostrar que esse limite depende da direção pela qual z se aproxima de 0.]

Passo 2

Definimos
D(z)=\frac{f(z)}{z}
para z\neq0. Se o limite de D(z) quando z\to0 existir e for único, então f seria diferenciável em 0. Vamos calcular esse limite em duas direções distintas.

Passo 3

Primeiro, aproximamos z\to0 ao longo do eixo real, ou seja, tomamos y=0 e z=x\in\mathbb{R}.
Então
f(x)=\frac{x^3-0}{x^2+0}+i\,\frac{x^3+0}{x^2+0} =x+i\,x,
e
D(x)=\frac{f(x)}{x}=\frac{x+i\,x}{x}=1+i.
Portanto,
\lim_{x\to0}D(x)=1+i.

Passo 4

Agora aproximamos z\to0 pela reta y=x, isto é, z=x+ix com x\to0.
Nesse caso
f(x+ix) =\frac{x^3-x^3}{x^2+x^2} +i\,\frac{x^3+x^3}{x^2+x^2} =0+i\,\frac{2x^3}{2x^2} =i\,x.
Logo
D(x+ix)=\frac{f(x+ix)}{x+ix} =\frac{i\,x}{x(1+i)} =\frac{i}{1+i}.
Multiplicando numerador e denominador por 1-i temos
\frac{i}{1+i}\cdot\frac{1-i}{1-i} =\frac{i(1-i)}{2} =\frac{i - i^2}{2} =\frac{1+i}{2}.
Portanto,
\lim_{x\to0}D(x+ix)=\frac{1+i}{2}.

Passo 5

Observamos que os dois limites são diferentes:
\lim_{z\to0\atop y=0}\frac{f(z)}{z}=1+i \quad\text{e}\quad \lim_{z\to0\atop y=x}\frac{f(z)}{z}=\frac{1+i}{2}.
Como o limite \frac{f(z)}{z} ao aproximar z\to0 não é único, concluímos que f não é diferenciável em z=0.

Resposta

A função não é diferenciável em z=0 porque o limite de \frac{f(z)}{z} ao ir para 0 depende da direção de aproximação.

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