Mostre que as funções a seguir não são analíticas em nenhum ponto do plano complexo.
f(z)=y+i x.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a função
f(z) = y + i\,x
não é analítica em nenhum ponto do plano complexo.
Para verificar analiticidade, vamos usar as condições de Cauchy–Riemann.

Passo 2

Escrevemos f em termos de suas partes real e imaginária. Se z = x + i\,y, então
f(x,y) = u(x,y) + i\,v(x,y)
com
u(x,y) = y, \qquad v(x,y) = x.

Passo 3

Calculamos as derivadas parciais necessárias:
u_x = \frac{\partial u}{\partial x} = 0, \quad u_y = \frac{\partial u}{\partial y} = 1,
v_x = \frac{\partial v}{\partial x} = 1, \quad v_y = \frac{\partial v}{\partial y} = 0.

Passo 4

As condições de Cauchy–Riemann exigem
u_x = v_y \quad\text{e}\quad u_y = -\,v_x.
Substituindo, temos
0 \overset{?}{=} 0 \quad\text{(esta vale)},
1 \overset{?}{=} -1 \quad\text{(esta falha)}.
Como a segunda condição não se satisfaz em nenhum (x,y), concluímos que f não cumpre as condições de Cauchy–Riemann em parte alguma.

Resposta

A função f(z)=y+i\,x não é analítica em nenhum ponto do plano complexo.

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