Mostre que as funções a seguir não são analíticas em nenhum ponto do plano complexo.
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Passo 1
O enunciado pede para mostrar que a função
não é analítica em nenhum ponto do plano complexo.
Para verificar analiticidade, vamos usar as condições de Cauchy–Riemann.
Para verificar analiticidade, vamos usar as condições de Cauchy–Riemann.
Passo 2
Escrevemos
em termos de suas partes real e imaginária. Se
, então
com
Passo 3
Calculamos as derivadas parciais necessárias:
Passo 4
As condições de Cauchy–Riemann exigem
Substituindo, temos
Como a segunda condição não se satisfaz em nenhum
, concluímos que
não cumpre as condições de Cauchy–Riemann em parte alguma.
Resposta
A função
não é analítica em nenhum ponto do plano complexo.