Resolva a equação diferencial homogênea abaixo, considerando a condição inicial indicada.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial juntos! O enunciado pede para resolver a equação diferencial homogênea:
Isso envolve conceitos de cálculo diferencial, especificamente equações diferenciais homogêneas. Para resolver, vamos precisar usar substituições que simplificam a equação e aplicar técnicas de separação de variáveis.
Passo 2
Primeiro, vamos deixar a equação diferencial de uma forma que fique mais fácil de manipular. Dividimos ambos os lados por
:
Isso nos deixa com uma equação que relaciona
em termos de
e
.
Passo 3
Como a equação é homogênea, podemos fazer uma substituição para simplificá-la. Vamos definir
, o que implica que
. Agora, calculamos a derivada de
em relação a
:
Passo 4
Substituímos
e
na equação original:
Simplificando, temos:
Então:
Passo 5
Agora, temos uma equação que podemos separar as variáveis. Vamos reorganizar para separar
e
:
Para resolver a integral do lado esquerdo, usamos frações parciais:
Então, integramos ambos os lados:
Passo 6
Realizando as integrais:
Podemos combinar os logaritmos:
Exponentiando ambos os lados para eliminar o logaritmo:
Passo 7
Aplicamos a condição inicial para encontrar o valor de
. Sabemos que
, então:
Substituindo na equação:
Passo 8
Com
, nossa equação fica:
Vamos resolver para
:
Rearranjando:
Passo 9
Lembrando que
, substituímos de volta para encontrar
:
Resposta
A solução da equação diferencial é: