Resolva a equação diferencial homogênea abaixo, considerando a condição inicial indicada.
2 x^2 d yd x=3 x y+y^2, y(1)=-2

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial juntos! O enunciado pede para resolver a equação diferencial homogênea:
2 x^2 d yd x=3 x y + y^2, y(1)=-2
Isso envolve conceitos de cálculo diferencial, especificamente equações diferenciais homogêneas. Para resolver, vamos precisar usar substituições que simplificam a equação e aplicar técnicas de separação de variáveis.

Passo 2

Primeiro, vamos deixar a equação diferencial de uma forma que fique mais fácil de manipular. Dividimos ambos os lados por 2x^2:
d yd x = 3xy + y^22x^2
Isso nos deixa com uma equação que relaciona d yd x em termos de x e y.

Passo 3

Como a equação é homogênea, podemos fazer uma substituição para simplificá-la. Vamos definir v = yx, o que implica que y = v cdot x. Agora, calculamos a derivada de y em relação a x:
d yd x = v + x d vd x

Passo 4

Substituímos y e d yd x na equação original:
v + x d vd x = 3x (v x) + (v x)^22x^2 = 3v x^2 + v^2 x^22x^2 = v(3 + v)2
Simplificando, temos:
x d vd x = v(3 + v)2 - v = v(1 + v)2
Então:
d vd x = v(1 + v)2x

Passo 5

Agora, temos uma equação que podemos separar as variáveis. Vamos reorganizar para separar v e x:
d vv(1 + v) = dx2x
Para resolver a integral do lado esquerdo, usamos frações parciais:
1v(1 + v) = 1v - 1v + 1
Então, integramos ambos os lados:
integral ( 1v - 1v + 1 ) dv = integral 12x dx

Passo 6

Realizando as integrais:
ln|v| - ln|v + 1| = 12 ln|x| + C
Podemos combinar os logaritmos:
ln( vv + 1 ) = 12 ln|x| + C
Exponentiando ambos os lados para eliminar o logaritmo:
vv + 1 = C x^12 onde C = e^C

Passo 7

Aplicamos a condição inicial para encontrar o valor de C. Sabemos que y(1) = -2, então:
v = yx = -21 = -2
Substituindo na equação:
-2-2 + 1 = C cdot 1^12 implies -2-1 = C implies C = 2

Passo 8

Com C = 2, nossa equação fica:
vv + 1 = 2 raizx
Vamos resolver para v:
v = 2 raizx (v + 1) implies v = 2 raizx cdot v + 2 raizx
Rearranjando:
v (1 - 2 raizx) = 2 raizx implies v = 2 raizx1 - 2 raizx

Passo 9

Lembrando que v = yx, substituímos de volta para encontrar y:
yx = 2 raizx1 - 2 raizx implies y = x cdot 2 raizx1 - 2 raizx = 2 x^321 - 2 raizx

Resposta

A solução da equação diferencial é:
y(x) = dfrac2, x^321 - 2, raizx

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