Resolva as seguintes equações de Bernoulli
y^{\prime}(t)-3 \frac{1}{t^{2}} y(t)=\frac{1}{t^{2}}\

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação de primeira ordem
y'(t) - 3\,\frac{1}{t^{2}}\,y(t) \;=\;\frac{1}{t^{2}},
que é uma equação linear na forma
y'(t) + p(t)\,y(t) = q(t),
com
p(t) = -3\,\frac{1}{t^{2}}, \quad q(t) = \frac{1}{t^{2}}.
Vamos aplicar o método do fator integrante.

Passo 2

Calculamos o fator integrante
\mu(t) = \exp\Bigl(\int p(t)\,dt\Bigr) = \exp\Bigl(\int -3\,t^{-2}\,dt\Bigr) = \exp\bigl(-3\cdot(-t^{-1})\bigr) = \exp\bigl(\tfrac{3}{t}\bigr).

Passo 3

Multiplicando a equação original por \mu(t), obtemos
\mu(t)\,y'(t) + \mu(t)\,p(t)\,y(t) = \mu(t)\,q(t).
Mas o lado esquerdo é exatamente a derivada de \mu(t)\,y(t), ou seja,
\frac{d}{dt}\bigl(\mu(t)\,y(t)\bigr) = \mu(t)\,\frac{1}{t^{2}}.

Passo 4

Integramos ambos os lados em relação a t:
\mu(t)\,y(t) = \int \exp\bigl(\tfrac{3}{t}\bigr)\,\frac{1}{t^{2}}\,dt + C.
Para calcular a integral do lado direito, façamos a substituição
u = \frac{3}{t} \quad\Longrightarrow\quad du = -3\,t^{-2}\,dt \quad\Longrightarrow\quad t^{-2}\,dt = -\frac{1}{3}\,du.

Passo 5

Com essa troca,
\int \exp\bigl(\tfrac{3}{t}\bigr)\,\frac{1}{t^{2}}\,dt = \int e^{u}\,\Bigl(-\tfrac{1}{3}du\Bigr) = -\tfrac{1}{3}\,\int e^{u}\,du = -\tfrac{1}{3}\,e^{u} + K = -\tfrac{1}{3}\,e^{3/t} + K.
Logo
\mu(t)\,y(t) = -\tfrac{1}{3}\,e^{3/t} + C.

Passo 6

Voltando para y(t), dividimos por \mu(t)=e^{3/t}:
y(t) = \frac{-\tfrac{1}{3}\,e^{3/t} + C}{e^{3/t}} = -\tfrac{1}{3} + C\,e^{-3/t}.

Resposta

\boxed{y(t) = C\,e^{-3/t} - \tfrac{1}{3},}
onde C é constante de integração.

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