Questão 2. O escoamento potencial bidimensional induzido por uma fonte na origem do plano z tem velocidade complexa dada por W(z)=V_{r} e^{-i \theta}, sendo V_{r}=V_{r}(r). Nesse caso, mostre que a vazão volumétrica por unidade de largura através de uma superfície cinlíndrica com centro na origem e raio r é q=2 \pi r V_{r}. Observe que, nessa superfície, um elemento infinitesimal de área com largura igual à unidade é d A=r d \theta e que em todos os seus pontos o vetor normal unitáio \hat{n} é equivalente ao vetor unitário na direção r, ou seja, \hat{n} \equiv \hat{e}_{r}.

Passo 1

O enunciado apresenta um escoamento potencial bidimensional induzido por uma fonte na origem com velocidade radial V_{r}(r) e pede a vazão volumétrica por unidade de largura através de uma superfície cilíndrica de raio r. O conteúdo envolve o conceito de fluxo de um campo de velocidades em coordenadas cilíndricas.

Passo 2

A vazão volumétrica por unidade de largura q é definida como a integral do produto escalar entre o vetor velocidade \mathbf{V} e o vetor normal unitário \hat{n} sobre a área da superfície:
q = \int_{\text{superfície}} \mathbf{V}\cdot\hat{n}\,dA.í

Passo 3

Na superfície cilíndrica de raio r (por unidade de profundidade), um elemento de área é
dA = r\,d\theta
e o vetor normal unitário \hat{n} coincide com \hat{e}_{r}. Como a velocidade é
\mathbf{V} = V_{r}\,\hat{e}_{r},
temos
\mathbf{V}\cdot\hat{n} = V_{r}.

Passo 4

Substituindo na integral e integrando de \theta=0 a 2\pi, obtemos
q = \int_{0}^{2\pi} V_{r}\,r\,d\theta = 2\pi\,r\,V_{r}.

Resposta

q = 2\pi\,r\,V_{r}

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