Questão 2. O escoamento potencial bidimensional induzido por uma fonte na origem do plano
tem velocidade complexa dada por
, sendo
. Nesse caso, mostre que a vazão volumétrica por unidade de largura através de uma superfície cinlíndrica com centro na origem e raio
é
. Observe que, nessa superfície, um elemento infinitesimal de área com largura igual à unidade é
e que em todos os seus pontos o vetor normal unitáio
é equivalente ao vetor unitário na direção
, ou seja,
.
Passo 1
O enunciado apresenta um escoamento potencial bidimensional induzido por uma fonte na origem com velocidade radial
e pede a vazão volumétrica por unidade de largura através de uma superfície cilíndrica de raio
. O conteúdo envolve o conceito de fluxo de um campo de velocidades em coordenadas cilíndricas.
Passo 2
A vazão volumétrica por unidade de largura
é definida como a integral do produto escalar entre o vetor velocidade
e o vetor normal unitário
sobre a área da superfície:
Passo 3
Na superfície cilíndrica de raio
(por unidade de profundidade), um elemento de área é
e o vetor normal unitário
coincide com
. Como a velocidade é
temos
Passo 4
Substituindo na integral e integrando de
a
, obtemos