Questão 3. O potencial complexo do escoamento potencial bidimensional induzido por uma fonte na origem é F(z)=(q / 2 \pi) \ln (z). Mostre que o potencial de velocidade e a função corrente desse escoamento são dados por
\begin{gathered} \varphi=\frac{q}{2 \pi} \ln (r) \\\ \psi=\frac{q \theta}{2 \pi} \end{gathered}

Passo 1

O enunciado dá o potencial complexo de um escoamento induzido por uma fonte na origem:
F(z)=\frac{q}{2\pi}\ln(z).
O objetivo é separar F(z) em parte real (potencial de velocidade \varphi) e parte imaginária (função corrente \psi). Vamos usar coordenadas polares e a propriedade do logaritmo complexo.

Passo 2

Em coordenadas polares representamos o ponto z por
z = r\,e^{i\theta},
onde r=\lvert z\rvert e \theta=\arg(z).

Passo 3

Aplicando a definição do logaritmo em coordenadas polares, temos
\ln(z) = \ln\bigl(r\,e^{i\theta}\bigr) = \ln(r) + i\,\theta.

Passo 4

Substituindo na expressão de F(z), vem
F(z) = \frac{q}{2\pi}\,\ln(z) = \frac{q}{2\pi}\bigl[\ln(r) + i\,\theta\bigr] = \frac{q}{2\pi}\ln(r) \;+\; i\,\frac{q}{2\pi}\theta.

Passo 5

Como F(z)=\varphi + i\,\psi, identificamos diretamente:
\varphi = \frac{q}{2\pi}\ln(r), \qquad \psi = \frac{q}{2\pi}\,\theta.

Resposta

\displaystyle \varphi=\frac{q}{2\pi}\ln(r), \displaystyle \psi=\frac{q}{2\pi}\,\theta.

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