Seja W=lang<= u1, u2rang<==x u1+y u2 mid x, y in R subset R^3, onde u1=(l1 0 1) e u2=(l1 1 1).
Mostre que W é subespaço vetorial de R^3, isto ê, nâo é vazio e é fechado com respeito às operaçōes de soma e multiplicação por escalar.

Passo 1

O enunciado nos dá o conjunto
W = lang<= u1,u2rang<= = x,u1 + y,u2mid x,yinRsubsetR^3,
onde
u1 = 101, u2 = 111
Para mostrar que W é um subespaço vetorial de R^3 precisamos verificar três coisas:
  1. W não é vazio,
  2. W é fechado sob soma,
  3. W é fechado sob multiplicação por escalar.

Passo 2

Para ver que W não é vazio, basta exibir um vetor em W. Tomando x=0 e y=0 temos
0,u1 + 0,u2 = 000
Logo 0 = (0,0,0)in W, então Wneqemptyset.

Passo 3

Agora mostramos fechamento sob soma. Sejam
w = x,u1 + y,u2 e w' = x',u1 + y',u2
vetores quaisquer de W. Então
w + w' = (x,u1 + y,u2) + (x',u1 + y',u2) = (x+x'),u1 + (y+y'),u2
Como x+x' e y+y' ainda são escalares em R, concluímos que w+w'in W.

Passo 4

Por fim, mostramos fechamento sob multiplicação por escalar. Seja cinR e
w = x,u1 + y,u2in W
Então
c,w = c,(x,u1 + y,u2) = (c,x),u1 + (c,y),u2,
e como c,x e c,y são reais, temos c,win W.

Resposta

Como W não é vazio e é fechado para soma e multiplicação por escalar, W é subespaço vetorial de R^3.

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