No plano R^2 considere um sistema de coordenadas cartesiano x y. Seja x^prime y^prime o sistema de coordenadas obtido de x y por uma rotação de 30^circ.
(a) Determine as coordenadas x y dos vetores canônicos unitários U1 e U2 do sistema de coordenadas x^prime y^prime.

Passo 1

Então, o exercício diz que em R^2 temos um sistema de coordenadas xy e outro x'y' obtido ao rotacionar o plano em 30^circ. Queremos achar, no sistema original xy, as coordenadas dos vetores unitários canônicos U1 (eixo x') e U2 (eixo y'). Isso envolve usar a matriz de rotação no plano.

Passo 2

A rotação de um vetor em por um ângulo é feita pela matriz
Se um vetor tem coordenadas no sistema rotacionado, suas coordenadas no sistema original são dadas por
]

Passo 3

Para U1 (direção do eixo x') temos (vx',vy')=(1,0). Então
U1 =R(30^circ)10 =cos30^circ[3pt]sin30^circ =tfracraiz32[3pt]tfrac12 ]

Passo 4

Para U2 (direção do eixo y') temos (vx',vy')=(0,1). Logo
U2 =R(30^circ)01 =-sin30^circ[3pt]cos30^circ =-tfrac12[3pt]tfracraiz32 ]

Resposta

U1=l(tfracraiz32,,tfrac12r), U2=l(-tfrac12,,tfracraiz32r)

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