Mostre que o espaço vetorial M_{2 \times 2} é gerado pelos vetores v_{1}=\left(\begin{array}{cc}1 & 0 \\\\ 0 & 0\end{array}\right), v_{2}=\left(\begin{array}{cc}0 & 1 \\\\ 0 & 0\end{array}\right), v_{3}=\left(\begin{array}{ll}0 & 0 \\\\ 1 & 0\end{array}\right) e v_{4}=\left(\begin{array}{ll}0 & 0 \\\\ 0 & 1\end{array}\right).

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que o espaço vetorial \,M_{2\times2}\, (o conjunto de todas as matrizes 2\times2 com entradas em um corpo, digamos \mathbb R) é gerado pelos vetores
v_{1}=\begin{pmatrix}1 & 0\\\ 0 & 0\end{pmatrix},\quad v_{2}=\begin{pmatrix}0 & 1\\\ 0 & 0\end{pmatrix},\quad v_{3}=\begin{pmatrix}0 & 0\\\ 1 & 0\end{pmatrix},\quad v_{4}=\begin{pmatrix}0 & 0\\\ 0 & 1\end{pmatrix}.
O conteúdo teórico é o de conjunto gerador (span): precisamos mostrar que qualquer matriz em M_{2\times2} pode ser escrita como combinação linear de v_{1},v_{2},v_{3},v_{4}.

Passo 2

Seja uma matriz arbitrária
A=\begin{pmatrix}a & b\\[6pt]c & d\end{pmatrix}\in M_{2\times2},
onde a,b,c,d\in\mathbb R. Nosso objetivo é expressar A em função de v_{1},v_{2},v_{3},v_{4}.]

Passo 3

Proponha a combinação linear
\alpha\,v_{1}+\beta\,v_{2}+\gamma\,v_{3}+\delta\,v_{4}
e escolha \alpha=a, \beta=b, \gamma=c, \delta=d. Então
a\,v_{1}=\begin{pmatrix}a & 0\\\ 0 & 0\end{pmatrix},\quad b\,v_{2}=\begin{pmatrix}0 & b\\\ 0 & 0\end{pmatrix},\quad c\,v_{3}=\begin{pmatrix}0 & 0\c & 0\end{pmatrix},\quad d\,v_{4}=\begin{pmatrix}0 & 0\\\ 0 & d\end{pmatrix}.
Somando essas quatro matrizes, obtemos
a\,v_{1}+b\,v_{2}+c\,v_{3}+d\,v_{4} =\begin{pmatrix}a & b\c & d\end{pmatrix} =A.

Passo 4

Como A era uma matriz arbitrária em M_{2\times2} e conseguimos sempre escrevê-la como combinação linear de v_{1},v_{2},v_{3},v_{4}, concluímos que
\operatorname{span}\{v_{1},v_{2},v_{3},v_{4}\}=M_{2\times2},
ou seja, esses vetores geram todo o espaço M_{2\times2}.

Resposta

O conjunto \{v_{1},v_{2},v_{3},v_{4}\} gera o espaço vetorial M_{2\times2}.

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