Prove que as seguintes igualdades são válidas para todos z, w \in \mathbb{C} :
\overline{\left(\frac{z}{w}\right)}=\frac{\bar{z}}{\bar{w}}\, se \(w \neq 0.)

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, para quaisquer z,w\in\mathbb{C} com w\neq0, vale
\overline{\Bigl(\frac{z}{w}\Bigr)} \;=\;\frac{\overline z}{\overline w}.
O conteúdo principal aqui é a propriedade do conjugado em relação a produto e inverso de complexos.

Passo 2

Lembramos que, para quaisquer complexos a,b, vale a propriedade
\overline{a\,b} \;=\;\overline a\;\overline b.
Em particular, aplicando isso a a=z e b=\tfrac1w, obtemos
\overline{\Bigl(z\cdot\frac1w\Bigr)} \;=\;\overline z\;\overline{\Bigl(\frac1w\Bigr)}.

Passo 3

Para tratar \overline\bigl(\tfrac1w\bigr), usamos que
\frac1w \;=\;\frac{\overline w}{|w|^2},
onde |w|^2 = w\,\overline w é real.
Tomando conjugado,
\overline{\Bigl(\frac1w\Bigr)} \;=\;\overline{\Bigl(\frac{\overline w}{|w|^2}\Bigr)} =\;\frac{w}{|w|^2} =\;\frac1{\overline w}.

Passo 4

Substituindo esse resultado em
\overline{\Bigl(\frac z w\Bigr)} =\;\overline{\Bigl(z\cdot\frac1w\Bigr)} =\;\overline z\;\overline{\Bigl(\frac1w\Bigr)},
fica
\overline{\Bigl(\frac z w\Bigr)} =\;\overline z\;\frac1{\overline w} =\;\frac{\overline z}{\overline w}.

Resposta

\overline{\Bigl(\frac{z}{w}\Bigr)} = \frac{\overline z}{\overline w}.

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