Mostre que a esperança de uma distribuição geométrica é
. (Dica usar que a soma de derivadas é igual a devirada das somas)
Passo 1
O enunciado pede pra mostrar que, numa variável aleatória
com distribuição geométrica de parâmetro
(isto é,
para
), a esperança
vale
.
Conteúdo: definição de esperança para variáveis discretas + soma de séries infinitas + truque de derivada de séries.
Conteúdo: definição de esperança para variáveis discretas + soma de séries infinitas + truque de derivada de séries.
Passo 2
Definição de esperança:
Aqui a gente identificou que precisa somar a série
.
Passo 3
Teoria da série geométrica:
Para ,
Para
Se a gente derivar ambos os lados em relação a
, obtém um somatório envolvendo
.
Passo 4
Derivando
:
Mas note que o termo
na soma dá zero, então podemos trocar o índice para
:
Passo 5
Volta pra esperança: deixe
. Então
Multiplicando pelo
de fora,