Mostre que a esperança de uma distribuição geométrica é 1 / p. (Dica usar que a soma de derivadas é igual a devirada das somas)

Passo 1

O enunciado pede pra mostrar que, numa variável aleatória com distribuição geométrica de parâmetro (isto é, para ), a esperança vale .
Conteúdo: definição de esperança para variáveis discretas + soma de séries infinitas + truque de derivada de séries.

Passo 2

Definição de esperança:
E[X] =sumk=1^infty k,Pr(X=k) =sumk=1^infty k,p,(1-p)^k-1
Aqui a gente identificou que precisa somar a série .

Passo 3

Teoria da série geométrica:
Para sumn=0^infty r^n = 11-r ,
Se a gente derivar ambos os lados em relação a , obtém um somatório envolvendo .

Passo 4

Derivando sumn=0^infty n,r^n-1 = ddrl(11-rr) = 1(1-r)^2 :
sumk=1^infty k,r^k-1 = 1(1-r)^2
Mas note que o termo na soma dá zero, então podemos trocar o índice para :

Passo 5

Volta pra esperança: deixe sumk=1^infty k,(1-p)^k-1 = 1l(1-(1-p)r)^2 = 1p^2 . Então
E[X] = p cdot 1p^2 = 1p
Multiplicando pelo de fora,

Resposta

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