Questão 2: Resolva os itens abaixo.
Exprima o vetor
como combinação linear dos vetores
e
.O conjunto {
é linearmente independente?
Exprima o vetor
Passo 1
O enunciado pede dois itens: expressar o vetor
como combinação linear dos vetores
e, em seguida, verificar se o conjunto
é linearmente independente. Para o primeiro item vamos associar escalares
e resolver um sistema linear; para o segundo, usamos o fato de que, se
já está no span de
, o conjunto todo será linearmente dependente.
Passo 2
Assumimos
ou seja
Isso gera o sistema de coordenadas:
Passo 3
Da terceira equação vem
Substituindo em
dá
Finalmente, em
:
Passo 4
Concluímos que
Passo 5
Um conjunto de vetores é linearmente independente apenas se a única combinação linear que dá o vetor zero é a combinação trivial. Aqui já encontramos uma relação não trivial envolvendo
,
,
e
:
Portanto
é linearmente dependente.
Resposta
O conjunto