Questão 2: Resolva os itens abaixo.
Exprima o vetor X=(1,3,10) como combinação linear dos vetores U=(1,0,0), V=(1,-1,0) e W=(2,3,-5).O conjunto { X, U, V, W\} é linearmente independente?

Passo 1

O enunciado pede dois itens: expressar o vetor X=(1,3,10) como combinação linear dos vetores
U=(1,0,0),\quad V=(1,-1,0),\quad W=(2,3,-5)
e, em seguida, verificar se o conjunto \{X,U,V,W\} é linearmente independente. Para o primeiro item vamos associar escalares \alpha,\beta,\gamma e resolver um sistema linear; para o segundo, usamos o fato de que, se X já está no span de \{U,V,W\}, o conjunto todo será linearmente dependente.

Passo 2

Assumimos
\alpha\,U+\beta\,V+\gamma\,W \;=\;X
ou seja
\alpha(1,0,0)+\beta(1,-1,0)+\gamma(2,3,-5) = (1,3,10).
Isso gera o sistema de coordenadas:
\alpha + \beta + 2\gamma = 1,
-\,\beta + 3\gamma = 3,
-5\gamma = 10.

Passo 3

Da terceira equação vem
-5\gamma = 10 \quad\Longrightarrow\quad \gamma = -2.
Substituindo em -\beta+3\gamma=3
-\beta +3(-2) = 3 \quad\Longrightarrow\quad -\beta -6 = 3 \quad\Longrightarrow\quad \beta = -9.
Finalmente, em \alpha+\beta+2\gamma=1:
\alpha + (-9) +2(-2) =1 \quad\Longrightarrow\quad \alpha -13 =1 \quad\Longrightarrow\quad \alpha = 14.

Passo 4

Concluímos que
X = 14\,U \;-\;9\,V \;-\;2\,W.

Passo 5

Um conjunto de vetores é linearmente independente apenas se a única combinação linear que dá o vetor zero é a combinação trivial. Aqui já encontramos uma relação não trivial envolvendo X, U, V e W:
14\,U \;-\;9\,V \;-\;2\,W \;-\;X \;=\;0.
Portanto \{X,U,V,W\} é linearmente dependente.

Resposta

X = 14\,U -9\,V -2\,W.
O conjunto \{X,U,V,W\} é linearmente dependente.

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