Mostre que existe um número c in[0,2] tal que c^3+c-1=0.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que existe um número cin[0,2] tal que
c^3+c-1=0
O conteúdo usado será o Teorema do Valor Intermediário, que garante a existência de raízes de uma função contínua quando seus valores em dois extremos têm sinais opostos.

Passo 2

Definimos a função
f(x)=x^3+x-1
Como f é um polinômio, ela é contínua em todo R, em particular no intervalo [0,2].

Passo 3

Calculamos os valores de f nos extremos ou em pontos convenientes de [0,2]:
f(0)=0^3+0-1=-1<0,
f(1)=1^3+1-1=1>0

Passo 4

Vendo que f(0)<0 e f(1)>0, pelo Teorema do Valor Intermediário existe pelo menos um ponto c em (0,1)subset[0,2] tal que
f(c)=0

Resposta

Existe cin[0,2] (na verdade em (0,1)) tal que c^3+c-1=0.

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