Prove que existe um número real c tal que c^3=5, usando o TVI.

Passo 1

O enunciado pede para provar que existe um número real c tal que c^3=5, usando o Teorema do Valor Intermediário (TVI).
Conteúdo: funções contínuas e aplicação do TVI. Vamos definir uma função polinomial cuja raiz corresponda a essa igualdade.

Passo 2

Definimos a função
f:RtoR, f(x)=x^3-5
Como todo polinômio é contínuo em R, temos que f é contínua. Agora escolhemos dois pontos a e b tais que f(a) e f(b) tenham sinais opostos, por exemplo a=1 e b=2:
f(1)=1^3-5=-4<0,
f(2)=2^3-5=8-5=3>0

Passo 3

Pelo Teorema do Valor Intermediário, como f é contínua em [1,2] e f(1)<0<f(2), existe cin(1,2) tal que
f(c)=0
Da definição de f, isso significa
c^3-5=0 Longrightarrow c^3=5

Resposta

Existe cin(1,2) tal que c^3=5.

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