Use o TVI para demonstrar que a equação e^x=3 x tem pelo menos uma solução no intervalo [0, 2].

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a equação e^x=3x possui pelo menos uma solução em [0,2]. Vamos usar o Teorema do Valor Intermediário (TVI), que diz que se uma função contínua f num intervalo [a,b] assume valores de sinais opostos em a e b, então existe cin(a,b) tal que f(c)=0.

Passo 2

Definimos a função
f(x)=e^x-3x
Como a exponencial e a função identidade são contínuas em R, a diferença também é contínua em R, logo contínua em [0,2].

Passo 3

Calculamos valores de f em dois pontos de [0,2]:
f(0)=e^0-3cdot0=1>0,
f(1)=e^1-3cdot1approx2,718-3=-0,282<0
Como f(0) e f(1) têm sinais opostos, pelo TVI existe cin(0,1)subset[0,2] tal que
f(c)=0Longrightarrow e^c=3c

Resposta

Pelo Teorema do Valor Intermediário, a equação e^x=3x tem pelo menos uma solução em [0,2].

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