O enunciado pede para mostrarmos que , com a operação de adição módulo 11, é um grupo cíclico. Isto significa que existe um elemento cujo subgrupo gerado
é igual a todo . Vamos usar teoria de grupos finitos e, em particular, a ideia de gerador em grupos abelianos.
Passo 2
Definição: um grupo é cíclico se existe tal que
coincide com . Em escolhemos o elemento , ou seja, a classe de módulo 11.
Passo 3
Vamos ver quais elementos são gerados por . Para cada temos
Se dois desses forem iguais, digamos kcdot[1]=mcdot[1], então [k]=[m] em Z11, isto é, kequiv mpmod11. Mas como k,m estão entre 0 e 10, isso força k=m. Logo, os 11 elementos [0],[1],dots,[10] são todos distintos.
Passo 4
Como o subgrupo lang<= [1]rang<= contém exatamente os 11 elementos de Z11, concluímos