Mostre explicitamente que (Z11,+) é um grupo cíclico.

Passo 1

O enunciado pede para mostrarmos que Z11, com a operação de adição módulo 11, é um grupo cíclico. Isto significa que existe um elemento ginZ11 cujo subgrupo gerado
lang<= grang<= = kcdot g mid kinZ
é igual a todo Z11. Vamos usar teoria de grupos finitos e, em particular, a ideia de gerador em grupos abelianos.

Passo 2

Definição: um grupo (G,+) é cíclico se existe gin G tal que
lang<= grang<= = ,0cdot g,1cdot g,2cdot g,dots
coincide com G. Em Z11 escolhemos o elemento [1], ou seja, a classe de 1 módulo 11.

Passo 3

Vamos ver quais elementos são gerados por [1]. Para cada kin0,1,2,dots,10 temos
kcdot[1]=underbrace[1]+[1]+cdots+[1]k vezes=[k]inZ11
Se dois desses forem iguais, digamos kcdot[1]=mcdot[1], então [k]=[m] em Z11, isto é, kequiv mpmod11. Mas como k,m estão entre 0 e 10, isso força k=m. Logo, os 11 elementos [0],[1],dots,[10] são todos distintos.

Passo 4

Como o subgrupo lang<= [1]rang<= contém exatamente os 11 elementos de Z11, concluímos
lang<= [1]rang<= = [0],[1],dots,[10] = Z11
Portanto [1] gera todo o grupo e Z11 é cíclico.

Resposta

Z11 é cíclico, gerado por [1].

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