Seja
(grupo das permutações de 3 elementos).
d) Exiba um subgrupo próprio
de
para o qual exista
tal que
.
d) Exiba um subgrupo próprio
Passo 1
O enunciado pede para exibirmos um subgrupo próprio
de
tal que exista algum
com
O conteúdo aqui é teoria de subgrupos normais e cosets (clases laterais): um subgrupo
é normal se e somente se
para todo
. Basta, portanto, achar um
que não seja normal.
Passo 2
Em
(que tem tamanho 6), os subgrupos de ordem 2 não são normais. Vamos escolher
Esse
é próprio (tem só 2 elementos) e não é normal em
.
Passo 3
Escolhemos um elemento
tal que a conjugação com
mude o ciclo. Um 3-ciclo funciona bem, por exemplo
Passo 4
Calculemos as clases laterais:
Agora,
é o 2-ciclo
, logo
Por outro lado,
E
é o 2-ciclo
, logo
Passo 5
Como
vemos que
. Isso mostra que
não é normal em
.
Resposta
Um exemplo é
pois para esses
e
temos
.