Seja G=S3 (grupo das permutações de 3 elementos).
d) Exiba um subgrupo próprio K de S3 para o qual exista x in S3 tal que K x neq x K.

Passo 1

O enunciado pede para exibirmos um subgrupo próprio K de S3 tal que exista algum xin S3 com
Kx neq xK
O conteúdo aqui é teoria de subgrupos normais e cosets (clases laterais): um subgrupo K é normal se e somente se Kx = xK para todo xin G. Basta, portanto, achar um K que não seja normal.

Passo 2

Em S3 (que tem tamanho 6), os subgrupos de ordem 2 não são normais. Vamos escolher
K = ,e,,(1,2)
Esse K é próprio (tem só 2 elementos) e não é normal em S3.

Passo 3

Escolhemos um elemento xin S3 tal que a conjugação com (1,2) mude o ciclo. Um 3-ciclo funciona bem, por exemplo
x = (1,2,3)

Passo 4

Calculemos as clases laterais:
Kx = ,ecdot(1,2,3),;(1,2)cdot(1,2,3) = , (1,2,3),;(1,2)(1,2,3)
Agora, (1,2)(1,2,3) é o 2-ciclo (2,3), logo
Kx = , (1,2,3),,(2,3)
Por outro lado,
xK = , (1,2,3)cdot e,;(1,2,3)cdot(1,2) = , (1,2,3),;(1,2,3)(1,2)
E (1,2,3)(1,2) é o 2-ciclo (1,3), logo
xK = , (1,2,3),,(1,3)

Passo 5

Como
Kx = (1,2,3),(2,3) e xK = (1,2,3),(1,3),
vemos que Kx neq xK. Isso mostra que K não é normal em S3.

Resposta

Um exemplo é
K = ,e,,(1,2) e x = (1,2,3),
pois para esses K e x temos Kx neq xK.

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