Seja
(grupo das permutações de 3 elementos).
c) Exiba um subgrupo próprio
de
tal que
c) Exiba um subgrupo próprio
Passo 1
O enunciado pede um subgrupo próprio
de
tal que
ou seja, um subgrupo normal. Vamos usar teoria de grupos finitos, em particular a caracterização de subgrupos normais por classes de conjugação e pelo índice.
Passo 2
Os subgrupos próprios de
são:
– o trivial ;
– os três subgrupos de ordem 2, cada um gerado por uma transposição:
,
e
;
– e o subgrupo cíclico de ordem 3 gerado por um 3-ciclo, por exemplo
.
– o trivial
– os três subgrupos de ordem 2, cada um gerado por uma transposição:
– e o subgrupo cíclico de ordem 3 gerado por um 3-ciclo, por exemplo
Passo 3
Um subgrupo
é normal em
se for união de classes de conjugação de
ou, equivalentemente, se
para todo
. As subgrupos de ordem 2 não são normais porque qualquer transposição se conjugada por um elemento de
vira outra transposição fora do subgrupo original. Já o subgrupo de ordem 3 tem índice 2, e todo subgrupo de índice 2 é normal.
Passo 4
Logo, o único subgrupo próprio e não trivial que satisfaz
para todo
é