Seja G=S3 (grupo das permutações de 3 elementos).
c) Exiba um subgrupo próprio H de S3 tal que
H x=x H, forall x in S3

Passo 1

O enunciado pede um subgrupo próprio H de S3 tal que
Hx = xH, forall xin S3,
ou seja, um subgrupo normal. Vamos usar teoria de grupos finitos, em particular a caracterização de subgrupos normais por classes de conjugação e pelo índice.

Passo 2

Os subgrupos próprios de S3 são:
– o trivial e;
– os três subgrupos de ordem 2, cada um gerado por uma transposição:
,e,(1,2), ,e,(1,3) e ,e,(2,3);
– e o subgrupo cíclico de ordem 3 gerado por um 3-ciclo, por exemplo
,e,(1,2,3),(1,3,2).

Passo 3

Um subgrupo K é normal em S3 se for união de classes de conjugação de S3 ou, equivalentemente, se xKx^-1=K para todo x. As subgrupos de ordem 2 não são normais porque qualquer transposição se conjugada por um elemento de S3 vira outra transposição fora do subgrupo original. Já o subgrupo de ordem 3 tem índice 2, e todo subgrupo de índice 2 é normal.

Passo 4

Logo, o único subgrupo próprio e não trivial que satisfaz Hx=xH para todo xin S3 é
H=,e,,(1,2,3),,(1,3,2)

Resposta

H=e,,(1,2,3),,(1,3,2).

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