Seja G o grupo aditivo de todas as matrizes quadradas triangular superior de ordem 2. Seja H o subconjunto G formado pelas matrizes da forma
(ll 1 & x 0 & 1 )
onde x in R. Prove que
e) G é normal em G L2(R) ?

Passo 1

O enunciado define como o grupo multiplicativo de todas as matrizes invertíveis triangulares superiores de ordem , e pergunta se é normal em . Lembrando que um subgrupo de é normal se, e somente se, para todo e todo tivermos

Passo 2

Para mostrar que não é normal basta encontrar um contraexemplo, ou seja, escolher explicitamente e tais que
não seja triangular superior.

Passo 3

Escolhemos
Primeiro calculamos
]

Passo 4

Em seguida, obtemos a inversa de C por fórmula de adjunta:
C^-1 = 1 & 0[3pt]1 & 1^-1 = 1 & 0[3pt]-1 & 1 ]

Passo 5

Por fim,
C,B,C^-1 = 1 & 1[3pt]1 & 2 1 & 0[3pt]-1 & 1 = 1cdot1 + 1cdot(-1) & 1cdot0 + 1cdot1[6pt] 1cdot1 + 2cdot(-1) & 1cdot0 + 2cdot1 = 0 & 1[3pt]-1 & 2
Repare que o elemento (2,1) é -1neq0, ou seja, C,B,C^-1 não é triangular superior. Portanto C,B,C^-1notin G.]

Resposta

não é normal em .

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