Seja
um grupo qualquer. Considere o subconjunto
Mostre que
. Além disso, mostre que
é abeliano se, e somente se,
. Este subgrupo
é chamado centro de
.
Passo 1
O enunciado define o centro de um grupo
como
e pede dois fatos: (
) mostrar que
é subgrupo de
e (
) provar que
é abeliano se, e somente se,
. Para isso vamos usar os critérios de subgrupo e a definição de grupo abeliano.
Passo 2
Mostramos que a identidade
de
pertence a
. Como
para todo
, segue que
.
Passo 3
Fechamento sob produto: se
então, para todo
,
onde em cada passo usamos que
e
comutam com
. Logo
.
Passo 4
Fechamento sob inverso: seja
. Para qualquer
, da igualdade
multiplicamos à esquerda por
e à direita por
para obter
Assim
. Portanto
satisfaz os três requisitos de subgrupo.
Passo 5
(
) Se
é abeliano então
para todos
, logo
.
( ) Se
então, em particular, todo par
comuta, ou seja,
é abeliano.
(
Resposta
Mostramos que
contém
, é fechado sob produto e inversos, logo
é subgrupo de
. Além disso,
é abeliano se, e somente se,
.