Seja G um grupo qualquer. Considere o subconjunto
Z(G)=x in G mid x g=g x, forall g in G
Mostre que Z(G)<G. Além disso, mostre que G é abeliano se, e somente se, Z(G)=G. Este subgrupo Z(G) é chamado centro de G.

Passo 1

O enunciado define o centro de um grupo G como
Z(G)=xin Gmid xg = gx,;forall gin G
e pede dois fatos: ( 1) mostrar que Z(G) é subgrupo de G e ( 2) provar que G é abeliano se, e somente se, Z(G)=G. Para isso vamos usar os critérios de subgrupo e a definição de grupo abeliano.

Passo 2

Mostramos que a identidade e de G pertence a Z(G). Como eg=>==g para todo gin G, segue que ein Z(G).

Passo 3

Fechamento sob produto: se a,bin Z(G) então, para todo gin G,
(ab),g = a,(b,g) = a,(g,b) = (a,g),b = (g,a),b = g,(a,b),
onde em cada passo usamos que b e a comutam com g. Logo abin Z(G).

Passo 4

Fechamento sob inverso: seja ain Z(G). Para qualquer gin G, da igualdade a,g = g,a multiplicamos à esquerda por a^-1 e à direita por a^-1 para obter
g = a^-1ga Longrightarrow a^-1g = ga^-1
Assim a^-1in Z(G). Portanto Z(G) satisfaz os três requisitos de subgrupo.

Passo 5

( Leftarrow) Se G é abeliano então xg=gx para todos x,gin G, logo Z(G)=G.
( Rightarrow) Se Z(G)=G então, em particular, todo par x,gin G comuta, ou seja, G é abeliano.

Resposta

Mostramos que Z(G) contém e, é fechado sob produto e inversos, logo Z(G) é subgrupo de G. Além disso, G é abeliano se, e somente se, Z(G)=G.

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