Mostre explicitamente que
H psi=-me e^432 epsilon0 h^2 psi
para um estado 2 p0 de um átomo de hidrogênio.

Passo 1

Beleza, o objetivo é mostrar que, para o estado 2p₀ de hidrogênio, o Hamiltoniano
hat H ;=; -hbar^22me,nabla^2 ;-;e^24piepsilon0,r
agindo na função de onda hat H,psi = E,psi, dá de volta um múltiplo da própria E = -me,e^432,epsilon0,h^2 , isto é
a0 = 4piepsilon0hbar^2me e^2
com
Conteúdo: separação de variáveis (parte radial+angular), operador laplaciano em coordenadas esféricas e as derivadas de . Vamos usar também a constante de Bohr

Passo 2

Escrevendo a onda 2p₀ em coordenadas esféricas:
psi2,1,0(r,theta,phi) = R(r),Y1^0(theta,phi),
onde
  1. A parte radial
R(r) = 12raiz6,a0^3/2;ra0;e^-r/(2a0),
  1. A armônica esférica
Y1^0(theta,phi) = raiz34picostheta
E o laplaciano em esféricas separa assim:
nabla^2psi = Ygl[1r^2ddrl(r^2dRdrr) -l(l+1)r^2Rgr]
com pro 2p.

Passo 3

Vamos calcular as derivadas de C=12raiz6,a0^5/2, R(r)=C,r,e^-r/(2a0), . Definindo
R'(r) = C,e^-r/(2a0)l(1-r2a0r),
temos
R''(r) = C,e^-r/(2a0)l(-12a0l(1-tfracr2a0r) -12a0r) = C,e^-r/(2a0)l(r4a0^2-1a0r)

Passo 4

Agora a parte radial do laplaciano:
1r^2ddrl(r^2R'r) = 1r^2ddrl(C,r^2 e^-r/(2a0)(1-tfrac r2a0)r)
Depois desse cacareco de derivar e simplificar (é trabalhoso, mas só usar produto e cadeia), chega-se a
1r^2ddr(r^2R') -2r^2R =1a0^2l(-tfrac14r),R(r)
Ou seja
-hbar^22mel[1r^2ddr(r^2R') -2r^2Rr] = -hbar^22mel(-14a0^2r)R = hbar^28me a0^2R
O potencial age multiplicando
-e^24piepsilon0,r,R(r)
e, juntando tudo, o total
hat H,psi =l[hbar^28me a0^2-e^24piepsilon0,rr]R,Y
Mas a equação radial garantiu que esse mix vira só uma constante a0 = 4piepsilon0hbar^2me e^2 vezes E = -me,e^432,epsilon0,h^2 . Usando
fazendo as contas dá

Resposta

boxed H,psi2,1,0 = -me,e^432,epsilon0,h^2;psi2,1,0

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