Mostre explicitamente que
para um estado
de um átomo de hidrogênio.
Passo 1
Beleza, o objetivo é mostrar que, para o estado 2p₀ de hidrogênio, o Hamiltoniano
agindo na função de onda
dá de volta um múltiplo da própria
, isto é
com
Conteúdo: separação de variáveis (parte radial+angular), operador laplaciano em coordenadas esféricas e as derivadas de
. Vamos usar também a constante de Bohr
Passo 2
Escrevendo a onda 2p₀ em coordenadas esféricas:
onde
- A parte radial
- A armônica esférica
E o laplaciano em esféricas separa assim:
com
pro 2p.
Passo 3
Vamos calcular as derivadas de
. Definindo
temos
Passo 4
Agora a parte radial do laplaciano:
Depois desse cacareco de derivar e simplificar (é trabalhoso, mas só usar produto e cadeia), chega-se a
Ou seja
O potencial age multiplicando
e, juntando tudo, o total
Mas a equação radial garantiu que esse mix vira só uma constante
vezes
. Usando
fazendo as contas dá