Mostre que se f é contínua sobre o retângulo ela será integrável sobre o retângulo
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente precisa fazer aqui é mostrar que se uma função
é contínua em todo o retângulo, então ela é integrável nesse retângulo. A matéria que estamos lidando aqui é sobre integrais de função de duas variáveis e a continuidade das funções. Para resolver isso, vamos usar alguns conceitos básicos de análise matemática, como o teorema de integrabilidade de funções contínuas sobre conjuntos compactos como retângulos.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa a função
ser contínua no retângulo. Continuidade, basicamente, quer dizer que pequenos movimentos no domínio da função não causam “saltos” nos valores da função. Formalmente, para todo ponto
no retângulo e para todo
, existe um
tal que se
, então
.
Passo 3
Agora, vamos falar sobre integrabilidade. Uma função é integrável em um conjunto quando conseguimos calcular a área sob a superfície que ela define no espaço 3D. Para funções de duas variáveis, como no nosso caso, isso envolve somar infinitos retângulos infinitamente pequenos que preenchem todo o retângulo de integração.
Passo 4
O próximo passo é lembrar do Teorema de Riemann para Funções
, que basicamente diz que se uma função é contínua em um conjunto compacto (como um retângulo fechado e limitado), então ela é Riemann integrável nesse conjunto. Isso porque a continuidade garante que a função não tem “saltos” ou “descontinuidades” que poderiam complicar a definição da integral.
Passo 5
Como o nosso retângulo é um conjunto compacto (fechado e limitado) e a função
é contínua nele, podemos aplicar diretamente o teorema mencionado. Isso significa que todas as condições necessárias para a integrabilidade de
estão satisfeitas.
Passo 6
Portanto, concluímos que a função
não só é contínua no retângulo, mas também integrável sobre ele. Isso significa que podemos calcular a integral dupla de
nesse retângulo de forma consistente e precisa.
Resposta
Assim, mostramos que se
é contínua sobre o retângulo, então
é integrável sobre o retângulo.