Mostre que se f é contínua sobre o retângulo ela será integrável sobre o retângulo

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente precisa fazer aqui é mostrar que se uma função f é contínua em todo o retângulo, então ela é integrável nesse retângulo. A matéria que estamos lidando aqui é sobre integrais de função de duas variáveis e a continuidade das funções. Para resolver isso, vamos usar alguns conceitos básicos de análise matemática, como o teorema de integrabilidade de funções contínuas sobre conjuntos compactos como retângulos.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa a função f ser contínua no retângulo. Continuidade, basicamente, quer dizer que pequenos movimentos no domínio da função não causam “saltos” nos valores da função. Formalmente, para todo ponto (x, y) no retângulo e para todo epsilon > 0 , existe um de<a > 0 tal que se raiz(x' - x)^2 + (y' - y)^2 < de<a , então |f(x', y') - f(x, y)| < epsilon .

Passo 3

Agora, vamos falar sobre integrabilidade. Uma função é integrável em um conjunto quando conseguimos calcular a área sob a superfície que ela define no espaço 3D. Para funções de duas variáveis, como no nosso caso, isso envolve somar infinitos retângulos infinitamente pequenos que preenchem todo o retângulo de integração.

Passo 4

O próximo passo é lembrar do Teorema de Riemann para Funções R^2 , que basicamente diz que se uma função é contínua em um conjunto compacto (como um retângulo fechado e limitado), então ela é Riemann integrável nesse conjunto. Isso porque a continuidade garante que a função não tem “saltos” ou “descontinuidades” que poderiam complicar a definição da integral.

Passo 5

Como o nosso retângulo é um conjunto compacto (fechado e limitado) e a função f é contínua nele, podemos aplicar diretamente o teorema mencionado. Isso significa que todas as condições necessárias para a integrabilidade de f estão satisfeitas.

Passo 6

Portanto, concluímos que a função f não só é contínua no retângulo, mas também integrável sobre ele. Isso significa que podemos calcular a integral dupla de f nesse retângulo de forma consistente e precisa.

Resposta

Assim, mostramos que se f é contínua sobre o retângulo, então f é integrável sobre o retângulo.

Exercícios relacionados