Usando a regra da cadeia para z=f(x, y) e w=f(x, y, z), calcule dzdt e dwdt :
w=(x^2-y^2) ln (raizz^3x^2-y^2), x=cosh (t), y=senh(t), z=t

Passo 1

O enunciado dá
w=(x^2-y^2);ln!l(raizz^3x^2-y^2r), x=cosh(t),;y=sinh(t),;z=t
e pede tfracdzdt e tfracdwdt. Vamos usar a regra da cadeia, além de uma identidade hiperbólica para simplificar w.

Passo 2

Como z=t depende diretamente de t, temos
dzdt=1

Passo 3

Note que
x^2-y^2=cosh^2(t)-sinh^2(t)=1

Passo 4

Substituindo x^2-y^2=1 em w, obtemos
w=1cdotln!l(raizz^31r) =ln!l(raizz^3r) =lnl(z^3/2r) =32,ln(z)

Passo 5

Agora que w=tfrac32ln(z), aplicamos a cadeia
dwdt =ddzl(32ln(z)r)cdotdzdt =32,1zcdot1 =32z =32t

Resposta

dzdt=1, dwdt=32t

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