Para quais valores de alpha podemos garantir que todas as soluções de I (com exceção da solução trivial) são ilimitadas quando t infty ?
Considere as EDOs abaixo:
& I) y^prime prime-(2 alpha-1) y^prime+alpha(alpha-1) y=0 & II) x^prime prime+(3-beta) x^prime-2(beta-1) x=0

Passo 1

O enunciado pede para que a gente encontre os valores de alpha tais que toda solução não trivial da EDO
y'' - (2alpha - 1),y' + alpha(alpha - 1),y = 0
é ilimitada quando t to infty. Isso significa que, na solução geral y(t), ambos os modos exponenciais devem crescer, ou seja, as raízes da equação característica têm parte real positiva.

Passo 2

Escrevemos a equação característica associada:
r^2 - (2alpha - 1),r + alpha(alpha - 1) = 0
O discriminante é
D = (2alpha - 1)^2 - 4,alpha(alpha - 1) =4alpha^2 -4alpha +1 -4alpha^2 +4alpha =1
Portanto as raízes são
r1,2 = (2alpha -1)pmraiz12 Longrightarrow r1 = alpha, r2 = alpha - 1

Passo 3

Para que toda solução não trivial seja ilimitada conforme ttoinfty, precisamos de
Re(r1)>0 e Re(r2)>0,
isto é,
alpha>0 e alpha -1>0 ;Longrightarrow; alpha>1

Resposta

alpha>1

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