Seja
uma função contínua. Se
mostre que existe
tal que
. Dica: Considere a função
e use o teorema do valor intermediário.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, dada uma função contínua
com
, existe
tal que
O conteúdo a aplicar é o Teorema do Valor Intermediário (TVI) em uma função construída a partir de
.
Passo 2
Definimos a função
Como
é contínua em
, segue que
é contínua em
.
Passo 3
Calculamos os valores de
nas extremidades do intervalo:
Como
, temos
Logo, ou
(caso já tenhamos
), ou
e
são de sinais opostos.
Passo 4
Pelo Teorema do Valor Intermediário, se
é contínua em
e
, então existe
tal que
Esse
satisfaz
Basta escolher
.
Resposta
Tomando
dado pelo TVI acima, obtém-se
como desejado.