Seja f:[0,1] \rightarrow \mathbb{R} uma função contínua. Se f(0)=f(1) mostre que existe x_{0} \in[0,1] tal que f\left(x_{0}\right)=f\left(x_{0}+1 / 2\right). Dica: Considere a função f(x+1 / 2)-f(x) e use o teorema do valor intermediário.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, dada uma função contínua f:[0,1]\to\mathbb{R} com f(0)=f(1), existe x_{0}\in[0,1] tal que
f(x_{0})=f\bigl(x_{0}+\tfrac12\bigr).
O conteúdo a aplicar é o Teorema do Valor Intermediário (TVI) em uma função construída a partir de f.

Passo 2

Definimos a função
g:[0,\tfrac12]\longrightarrow\mathbb{R}, \qquad g(x)=f\bigl(x+\tfrac12\bigr)-f(x).
Como f é contínua em [0,1], segue que g é contínua em [0,\tfrac12].

Passo 3

Calculamos os valores de g nas extremidades do intervalo:
g(0)=f\bigl(\tfrac12\bigr)-f(0), \qquad g\bigl(\tfrac12\bigr)=f(1)-f\bigl(\tfrac12\bigr).
Como f(1)=f(0), temos
g\bigl(\tfrac12\bigr)=f(0)-f\bigl(\tfrac12\bigr) =-\bigl[f\bigl(\tfrac12\bigr)-f(0)\bigr] =-g(0).
Logo, ou g(0)=0 (caso já tenhamos \,f(\tfrac12)=f(0)\,), ou g(0) e g(\tfrac12) são de sinais opostos.

Passo 4

Pelo Teorema do Valor Intermediário, se g é contínua em [0,\tfrac12] e g(0)\cdot g(\tfrac12)\le0, então existe c\in[0,\tfrac12] tal que
g\text{(c)}=0.
Esse c satisfaz
f\bigl(c+\tfrac12\bigr)-f\text{(c)}=0 \quad\Longrightarrow\quad f\text{(c)}=f\bigl(c+\tfrac12\bigr).
Basta escolher x_{0}=c.

Resposta

Tomando x_{0}=c\in[0,\tfrac12] dado pelo TVI acima, obtém-se
f(x_{0})=f\bigl(x_{0}+\tfrac12\bigr),
como desejado.

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