Mostre, fazendo a diferenciação implícita, que a tangente à elipse x^2a^2-y^2b^2=1 no ponto ( x0, y0 ) é x0 xa^2-y0 yb^2=1.

Passo 1

O enunciado pede a reta tangente à curva definida implicitamente por x^2a^2 - y^2b^2 = 1 no ponto (x0,y0). Vamos usar diferenciação implícita para achar a derivada dydx e depois a equação da reta.

Passo 2

Começamos diferenciando ambos os lados da equação em relação a x. A derivada de x^2a^2 é 2xa^2 e a de -y^2b^2 é -2yb^2dydx. Como o lado direito é uma constante (1), sua derivada é zero. Portanto temos:
2xa^2 - 2yb^2dydx = 0

Passo 3

Isolando dydx obtemos:
2yb^2dydx = 2xa^2 dydx = b^2a^2xy

Passo 4

No ponto (x0,y0), a inclinação da tangente é
m = dydx|(x0,y0) = b^2a^2x0y0
A equação da reta tangente em forma ponto-inclinação fica:
y - y0 = m (x - x0)

Passo 5

Substituindo m e rearranjando para chegar na forma desejada, fazemos:
y - y0 = b^2x0a^2y0(x - x0)
Multiplicando tudo por a^2y0b^2 e reorganizando os termos, usando a condição de que (x0,y0) satisfaz a curva x0^2a^2 - y0^2b^2 = 1, chega-se a:
x0xa^2 - y0yb^2 = 1

Resposta

A tangente à curva no ponto (x0,y0) é
x0xa^2 - y0yb^2 = 1

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