Mostre, fazendo a diferenciação implícita, que a tangente à elipse no ponto ( ) é .
Passo 1
O enunciado pede a reta tangente à curva definida implicitamente por no ponto . Vamos usar diferenciação implícita para achar a derivada e depois a equação da reta.
Passo 2
Começamos diferenciando ambos os lados da equação em relação a . A derivada de é e a de é . Como o lado direito é uma constante (1), sua derivada é zero. Portanto temos:
Passo 3
Isolando obtemos:
Passo 4
No ponto , a inclinação da tangente é
A equação da reta tangente em forma ponto-inclinação fica:
y - y0 = m (x - x0)
Passo 5
Substituindo m e rearranjando para chegar na forma desejada, fazemos:
y - y0 = b^2x0a^2y0(x - x0)
Multiplicando tudo por a^2y0b^2 e reorganizando os termos, usando a condição de que (x0,y0) satisfaz a curva x0^2a^2 - y0^2b^2 = 1, chega-se a: