Mostre que se u(x, y) for harmônica em Omega, então a função v definida a seguir também será harmônica: v(xi, eta)=u(x(xi, eta), y(xi, eta) ), onde xi+i eta=f(x+i y) e f é analítica em Omega, e, além disso, f^prime neq 0 em Omega.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão pede: temos uma função real u(x,y) harmônica em Ω, ou seja, satisfaz uxx+uyy=0. Queremos mostrar que a função composta v(xi,eta)=ul(x(xi,eta),y(xi,eta)r), onde xi+ieta=f(x+iy) com f analítica em Ω e f'neq0, também satisfaz a equação de Laplace em variáveis xi,eta. Para isso, vamos usar a regra da cadeia e as equações de Cauchy–Riemann.

Passo 2

Em seguida, aplicamos a regra da cadeia para calcular as derivadas parciais de v: definindo xxi=partial x/partialxi etc., temos
vxi=ux,xxi+uy,yxi, veta=ux,xeta+uy,yeta

Passo 3

Agora derivamos de novo para obter
vxixi=(uxxxxi+uxyyxi)xxi+(uxyxxi+uyyyxi)yxi+uxxxixi+uyyxixi,
vetaeta=(uxxxeta+uxyyeta)xeta+(uxyxeta+uyyyeta)yeta+uxxetaeta+uyyetaeta

Passo 4

Somando as duas segundas derivadas, obtemos
vxixi+vetaeta=uxx(xxi^2+xeta^2)+2uxy(xxi yxi+xeta yeta)+uyy(yxi^2+yeta^2) +ux(xxixi+xetaeta)+uy(yxixi+yetaeta)

Passo 5

Agora usamos que f é analítica, logo as funções coordenadas satisfazem as equações de Cauchy–Riemann:
xxi=yeta, xeta=-yxi,
além disso x e y são harmônicas, ou seja xxixi+xetaeta=0 e yxixi+yetaeta=0. Com isso,
xxi^2+xeta^2=yeta^2+yxi^2, xxi yxi+xeta yeta=0,
e os termos com ux e uy também somam zero.

Passo 6

Como u é harmônica temos uxx+uyy=0. Logo,
vxixi+vetaeta=(xxi^2+xeta^2)(uxx+uyy)=0
Isto mostra que v satisfaz a equação de Laplace em variáveis xi,eta, ou seja, v é harmônica.

Resposta

v(\xi,\eta) é harmônica em f(Ω).

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