Mostre que se
for harmônica em
, então a função
definida a seguir também será harmônica:
), onde
e
é analítica em
, e, além disso,
.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão pede: temos uma função real u(x,y) harmônica em Ω, ou seja, satisfaz
. Queremos mostrar que a função composta
, onde
com f analítica em Ω e
, também satisfaz a equação de Laplace em variáveis
. Para isso, vamos usar a regra da cadeia e as equações de Cauchy–Riemann.
Passo 2
Em seguida, aplicamos a regra da cadeia para calcular as derivadas parciais de v: definindo
etc., temos
Passo 3
Agora derivamos de novo para obter
Passo 4
Somando as duas segundas derivadas, obtemos
Passo 5
Agora usamos que f é analítica, logo as funções coordenadas satisfazem as equações de Cauchy–Riemann:
além disso
e
são harmônicas, ou seja
e
. Com isso,
e os termos com
e
também somam zero.
Passo 6
Como
é harmônica temos
. Logo,
Isto mostra que
satisfaz a equação de Laplace em variáveis
, ou seja, v é harmônica.
Resposta
v(\xi,\eta) é harmônica em f(Ω).