Mostre que, se p for um número ímpar, então
será divisível por 12.
Passo 1
Beleza, o enunciado diz: “Mostre que, se
for um número ímpar, então
é divisível por 12.”
Isso é um exercício de teoria dos números, mais especificamente sobre divisibilidade e fatoração.
Para resolver a gente vai precisar:
Isso é um exercício de teoria dos números, mais especificamente sobre divisibilidade e fatoração.
Para resolver a gente vai precisar:
- Fatorar a expressão usando a identidade de diferença de quadrados.
- Entender como funcionam números consecutivos em termos de múltiplos de 2, 3 e 4.
Passo 2
Primeiro, a gente fatora
usando a identidade
Aqui
e
, então
Logo
Passo 3
Agora, olha só:
,
e
são três números inteiros consecutivos.
Na teoria dos números existe a propriedade: “Em qualquer trio de números consecutivos, um deles é múltiplo de 3.”
Logo, entre ,
e
existe um que é divisível por 3. Isso garante o fator 3 no produto.
Na teoria dos números existe a propriedade: “Em qualquer trio de números consecutivos, um deles é múltiplo de 3.”
Logo, entre
Passo 4
Como
é ímpar, tanto
quanto
são pares. Mais ainda: são dois pares consecutivos, e a gente sabe que “em dois pares consecutivos, um deles é múltiplo de 4.”
Isso significa que tem pelo menos um fator 4.
Isso significa que
Passo 5
Juntando tudo:
- Fator 3 vem de um dos três números consecutivos.
- Fator 4 vem de
.
Portanto o produto
é múltiplo de
.
Resposta
Logo, se
é ímpar então
é divisível por 12.