Mostre que, se p for um número ímpar, então p (p^2-1) será divisível por 12.

Passo 1

Beleza, o enunciado diz: “Mostre que, se p,(p^2-1) for um número ímpar, então
é divisível por 12.”
Isso é um exercício de teoria dos números, mais especificamente sobre divisibilidade e fatoração.
Para resolver a gente vai precisar:
  • Fatorar a expressão usando a identidade de diferença de quadrados.
  • Entender como funcionam números consecutivos em termos de múltiplos de 2, 3 e 4.

Passo 2

Primeiro, a gente fatora a^2 - b^2 = (a-b)(a+b) usando a identidade
p^2 - 1 = (p-1)(p+1)
Aqui p,(p^2-1) ;=; p,(p-1)(p+1) e , então
Logo

Passo 3

Agora, olha só: , e são três números inteiros consecutivos.
Na teoria dos números existe a propriedade: “Em qualquer trio de números consecutivos, um deles é múltiplo de 3.”
Logo, entre , e existe um que é divisível por 3. Isso garante o fator 3 no produto.

Passo 4

Como é ímpar, tanto quanto são pares. Mais ainda: são dois pares consecutivos, e a gente sabe que “em dois pares consecutivos, um deles é múltiplo de 4.”
Isso significa que tem pelo menos um fator 4.

Passo 5

Juntando tudo:
  • Fator 3 vem de um dos três números consecutivos.
  • Fator 4 vem de p,(p-1)(p+1) .
    Portanto o produto
é múltiplo de .

Resposta

Logo, se é ímpar então é divisível por 12.

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