Mostre que
é divisível por 546 .
Passo 1
A questão pede para mostrar que para todo inteiro
, a expressão
é múltiplo de 546. O conteúdo envolvido é aritmética modular e o Teorema de Fermat. Vamos usar fatoração de 546 e verificar divisibilidade módulo a cada fator primo.
Passo 2
Primeiro, fatoramos 546 e concluímos que basta provar que
é divisível por cada fator primo de 546.
Pelo Teorema Chinês dos Resíduos, se
é divisível por 2, 3, 7 e 13, então é divisível por 546.
Passo 3
Analisando módulo 2: qualquer inteiro
pode ser par ou ímpar. Se
é par então
e
são pares e
. Se
é ímpar, então
e
, logo
.
Passo 4
Agora, módulo 3, aplicamos o Teorema de Fermat que diz que para
primo e
temos
. Aqui
então
quando
. Assim,
Se
, então
e
são múltiplos de 3 e a diferença é 0 módulo 3. Portanto
.
Passo 5
Para os primos 7 e 13, o argumento é análogo. Usando Fermat, para
ou
e
temos
, logo
onde em cada caso ajustamos o expoente para mostrar que
. Se
, a diferença também é zero módulo
. Portanto
e
.
Passo 6
Como provamos que
é divisível por 2, 3, 7 e 13, pelo Teorema Chinês dos Resíduos concluímos que é divisível por
Resposta
Para todo
,
é múltiplo de 546.