Mostre que forall n in Z, n^13-n é divisível por 546 .

Passo 1

A questão pede para mostrar que para todo inteiro n, a expressão n^13-n é múltiplo de 546. O conteúdo envolvido é aritmética modular e o Teorema de Fermat. Vamos usar fatoração de 546 e verificar divisibilidade módulo a cada fator primo.

Passo 2

Primeiro, fatoramos 546 e concluímos que basta provar que n^13-n é divisível por cada fator primo de 546.
546 = 2 cdot 3 cdot 7 cdot 13
Pelo Teorema Chinês dos Resíduos, se n^13-n é divisível por 2, 3, 7 e 13, então é divisível por 546.

Passo 3

Analisando módulo 2: qualquer inteiro n pode ser par ou ímpar. Se n é par então n^13 e n são pares e n^13-nequiv0pmod2. Se n é ímpar, então nequiv1pmod2 e n^13equiv1^13=1pmod2, logo n^13-nequiv0pmod2.

Passo 4

Agora, módulo 3, aplicamos o Teorema de Fermat que diz que para p primo e gcd(n,p)=1 temos n^p-1equiv1pmod p. Aqui p=3 então n^2equiv1pmod3 quando 3nmid n. Assim,
n^13 = n^2cdot6+1 = (n^2)^6 cdot n equiv1^6 cdot n = n pmod3
Se 3mid n, então n^13 e n são múltiplos de 3 e a diferença é 0 módulo 3. Portanto n^13-nequiv0pmod3.

Passo 5

Para os primos 7 e 13, o argumento é análogo. Usando Fermat, para p=7 ou p=13 e pnmid n temos n^p-1equiv1pmod p, logo
n^13 = n^(p-1)cdot1 + r = (n^p-1) cdot n^r equiv1 cdot n^rpmod p,
onde em cada caso ajustamos o expoente para mostrar que n^13equiv npmod p. Se pmid n, a diferença também é zero módulo p. Portanto n^13-nequiv0pmod7 e n^13-nequiv0pmod13.

Passo 6

Como provamos que n^13-n é divisível por 2, 3, 7 e 13, pelo Teorema Chinês dos Resíduos concluímos que é divisível por
2 cdot 3 cdot 7 cdot 13 = 546

Resposta

Para todo ninZ, n^13-n é múltiplo de 546.

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