Mostre que não existe uma transformação linear de K^5 para K^2 com kernel dado por e .

Passo 1

Temos uma transformação linear T:K^5toK^2 e queremos mostrar que não existe T com núcleo
(x1,x2,x3,x4,x5)inK^5mid x1=3x2 e x3=x4=x5. Vamos usar o Teorema da Dimensão, que estabelece dim(ker T)+dim(Im,T)=dim(K^5).

Passo 2

Para calcular dim(ker T), observamos que as equações x1=3x2 e x3=x4=x5 impõem três restrições lineares independentes em K^5. Podemos parametrizar o núcleo definindo x2=s e x3=t, com s,tinK. Assim, obtemos:
ker T = (3s,s,t,t,t)mid s,tinK
Como há dois parâmetros livres, dim(ker T)=2.

Passo 3

Aplicando o Teorema da Dimensão, obtemos dim(Im,T)=5-2=3. Mas a imagem de T é subespaço de K^2, que tem dimensão 2. Não existe subespaço de dimensão 3 em K^2, logo chegamos a uma contradição e não pode existir tal transformação linear.

Resposta

Não existe tal transformação linear, pois implicaria dim(Im,T)=3>2, o que é impossível em K^2.

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