Mostre que não existe uma transformação linear de
para
com kernel dado por
e
.
Passo 1
Temos uma transformação linear
e queremos mostrar que não existe
com núcleo
. Vamos usar o Teorema da Dimensão, que estabelece
.
Passo 2
Para calcular
, observamos que as equações
e
impõem três restrições lineares independentes em
. Podemos parametrizar o núcleo definindo
e
, com
. Assim, obtemos:
Como há dois parâmetros livres,
.
Passo 3
Aplicando o Teorema da Dimensão, obtemos
. Mas a imagem de
é subespaço de
, que tem dimensão 2. Não existe subespaço de dimensão 3 em
, logo chegamos a uma contradição e não pode existir tal transformação linear.
Resposta
Não existe tal transformação linear, pois implicaria
, o que é impossível em
.