Sejam e espaços vetoriais sobre e uma transformação linear.
a Mostre que se for uma base de Im(T) então T gera T.
b Prove que U é injetora se e somente se V leva cada subconjunto LI de dimK U <= dimK V em um subconjunto LI de T. Conclua que neste caso T.
c Mostre que U simeq V é um isomorfismo se e somente se dimK U=dimK V leva base em base. Conclua que se V então U.
d Prove que se o conjunto for LI em , então é LI em .
Passo 1
O enunciado pede para trabalhar com uma transformação linear Tcolon Uto V entre espaços vetoriais sobre K. Vamos usar definições de imagem (Im), núcleo (Ker), injetividade, sobrejetividade, base, independência linear (LI), geradores (span) e dimensão. Para resolver, precisamos lembrar que: (1) todo vetor de U se escreve como combinação linear de uma base; (2) T injetora iffker T=0; (3) T preserva combinações lineares.
Passo 2
Para (a), seja uiiin I base de U. Tome vinIm(T); então exists uin U tal que v=T(u). Como u=sumiin Iai,ui, temos
v=T(u)=Tl(sumiin Iai,uir)=sumiin Iai,T(ui)
Logo v é combinação linear de T(ui), ou seja, esse conjunto gera Im(T).
Passo 3
Para (b), primeiro mostre que, se T é injetora, então preserva LI. Se u1,dots,un é LI e
sumk=1^n ck,T(uk)=0,
então Tl(sumk=1^n ck,ukr)=0
Como T é injetora, sum ck,uk=0 implica todos ck=0, logo T(uk) é LI. Agora, se T leva todo conjunto LI em LI, em particular u é LI para uneq0, então T(u)neq0 e ker T=0, ou seja, T é injetora. Concluímos também que, se B é base de U, então T(B) é LI em V, logo