Sejam U e V espaços vetoriais sobre K e T: U V uma transformação linear.
a Mostre que se U for uma base de Im(T) então T gera T.
b Prove que U é injetora se e somente se V leva cada subconjunto LI de dimK U <= dimK V em um subconjunto LI de T. Conclua que neste caso T.
c Mostre que U simeq V é um isomorfismo se e somente se dimK U=dimK V leva base em base. Conclua que se V então U.
d Prove que se o conjunto for LI em , então é LI em .

Passo 1

O enunciado pede para trabalhar com uma transformação linear Tcolon Uto V entre espaços vetoriais sobre K. Vamos usar definições de imagem (Im), núcleo (Ker), injetividade, sobrejetividade, base, independência linear (LI), geradores (span) e dimensão. Para resolver, precisamos lembrar que: (1) todo vetor de U se escreve como combinação linear de uma base; (2) T injetora iff ker T=0; (3) T preserva combinações lineares.

Passo 2

Para (a), seja uiiin I base de U. Tome vinIm(T); então exists uin U tal que v=T(u). Como u=sumiin Iai,ui, temos
v=T(u)=Tl(sumiin Iai,uir)=sumiin Iai,T(ui)
Logo v é combinação linear de T(ui), ou seja, esse conjunto gera Im(T).

Passo 3

Para (b), primeiro mostre que, se T é injetora, então preserva LI. Se u1,dots,un é LI e
sumk=1^n ck,T(uk)=0,
então
Tl(sumk=1^n ck,ukr)=0
Como T é injetora, sum ck,uk=0 implica todos ck=0, logo T(uk) é LI. Agora, se T leva todo conjunto LI em LI, em particular u é LI para uneq0, então T(u)neq0 e ker T=0, ou seja, T é injetora. Concluímos também que, se B é base de U, então T(B) é LI em V, logo
dim U=|B|<=|T(B)|<=dim V,
isto é, dim U<=dim V.

Passo 4

Para ©, se T é isomorfismo (bijetora e linear), então é injetora e sobrejetora. Da parte (b) vem que T leva LI em LI, e da parte (a) vem que leva geradores em geradores. Assim, se B é base de U, T(B) é LI e gera V, logo é base de V.
Reciprocamente, se T leva uma base B de U em base de V, então T(B) gera V) mostrando sobrejetividade, e é LI mostrando injetividade, ou seja, T é isomorfismo. Daí dim U=|B|=|T(B)|=dim V.

Passo 5

Para (d), suponha que T(ui)iin I seja LI e que
sumiin Ici,ui=0
Aplicando T e usando linearidade temos
sumiin Ici,T(ui)=0
Pela independência de T(ui), todos ci=0, logo ui é LI.

Resposta

(a) Demonstrado que T(ui) gera Im(T).
(b) Prova feita de que T é injetora se e somente se leva LI em LI; daí dim U<=dim V.
© Mostrado que T é isomorfismo se e somente se leva base em base; segue dim U=dim V.
(d) Se T(ui) é LI então ui é LI.

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