Seja A=(rrr3 & 2 & 0 -6 & -5 & 0 -4 & -4 & 1).
Determine, se possível, uma matriz P e uma matriz diagonal D tal que P^-1 A P=D.

Passo 1

O enunciado nos dá a matriz
A = 3 & 2 & 0 -6 & -5 & 0 -4 & -4 & 1
e pede diagonalizá-la, ou seja, achar P invertível e D diagonal tais que P^-1AP=D. Para isso vamos obter os autovalores e autovetores de A.

Passo 2

Calculamos o polinômio característico
det(A - lambda I) =det! 3-lambda & 2 & 0 -6 & -5-lambda & 0 -4 & -4 & 1-lambda
Como a terceira coluna tem zeros nos dois primeiros elementos, expandimos por essa coluna:
det(A-lambda I)=(1-lambda),det! 3-lambda & 2 -6 & -5-lambda

Passo 3

Calculando o determinante 2times 2:
det 3-lambda & 2 -6 & -5-lambda =(3-lambda)(-5-lambda)-(-6)cdot2 =lambda^2+2lambda-3
Logo
det(A-lambda I) =(1-lambda)(lambda^2+2lambda-3) =(1-lambda)(lambda-1)(lambda+3) =(1-lambda)^2(lambda+3)
Os autovalores são lambda=1 (multiplicidade algébrica 2) e lambda=-3.

Passo 4

Para lambda=1 resolvemos (A-I)v=0:
A-I= 2 & 2 & 0 -6 & -6 & 0 -4 & -4 & 0 ;Longrightarrow; 2x1+2x2=0;Longrightarrow;x1=-x2
Os vetores têm forma (t,-t,s). Uma base de autovetores é, por exemplo,
v1=(1,-1,0), v2=(0,0,1)
Para lambda=-3 resolvemos (A+3I)v=0:
A+3I= 6 & 2 & 0 -6 & -2 & 0 -4 & -4 & 4 ;Longrightarrow; y=-3x,;z=-2x,
logo um autovetor é
v3=(1,-3,-2)

Passo 5

Como obtivemos três autovetores independentes, A é diagonalizável. Basta tomar P com colunas v3,v1,v2 e
D=diag(-3,1,1)
Por exemplo,
P= 1 & 1 & 0 -3 & -1 & 0 -2 & 0 & 1 , D= -3 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1 ,
de modo que P^-1AP=D.

Resposta

P= 1 & 1 & 0 -3 & -1 & 0 -2 & 0 & 1 , D=diag(-3,1,1)

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