Seja
.
Determine, se possível, uma matriz
P e uma matriz diagonal
D tal que
P^-1 A P=D .
Determine, se possível, uma matriz
Passo 1
O enunciado nos dá a matriz
e pede diagonalizá-la, ou seja, achar
P invertível e
D diagonal tais que
P^-1AP=D . Para isso vamos obter os autovalores e autovetores de
A .
Passo 2
Calculamos o polinômio característico
Como a terceira coluna tem zeros nos dois primeiros elementos, expandimos por essa coluna:
Passo 3
Calculando o determinante
2times 2 :
Logo
Os autovalores são
lambda=1 (multiplicidade algébrica
2 ) e
lambda=-3 .
Passo 4
Para
lambda=1 resolvemos
(A-I)v=0 :
Os vetores têm forma
(t,-t,s) . Uma base de autovetores é, por exemplo,
Para
lambda=-3 resolvemos
(A+3I)v=0 :
logo um autovetor é
Passo 5
Como obtivemos três autovetores independentes,
A é diagonalizável. Basta tomar
P com colunas
v3,v1,v2 e
Por exemplo,
de modo que
P^-1AP=D .