Sejam T: R^3 R^3 e S: R^3 R^3 dadas por T(x, y, z)=(x, 2 y, 3 z) e S(x, y, z)=(x, x+y, x+ y+z). Determine?
T+S;

Passo 1

O enunciado nos dá duas transformações lineares T,S:R^3toR^3 definidas por
T(x,y,z) = (x,,2y,,3z), S(x,y,z) = (x,,x+y,,x+y+z)
Ele pede a soma T+S, ou seja, a função que envia cada vetor (x,y,z) em T(x,y,z)+S(x,y,z).

Passo 2

Lembrando que, para transformações lineares, a soma é dada componente a componente:
(T+S)(v) ;=; T(v) ;+; S(v),
para todo vinR^3.

Passo 3

Vamos aplicar isso a v=(x,y,z). Primeiro escrevemos
T(x,y,z) ;=; (x,;2y,;3z), S(x,y,z) ;=; (x,;x+y,;x+y+z)

Passo 4

Somando as componentes correspondentes, obtemos
(T+S)(x,y,z) = l(x,;2y,;3zr) +l(x,;x+y,;x+y+zr) = l(x+x,;2y+(x+y),;3z+(x+y+z)r)

Passo 5

Bast a simplificar cada entrada:
  • Primeira componente: x+x=2x.
  • Segunda componente: 2y+(x+y)=x+3y.
  • Terceira componente: 3z+(x+y+z)=x+y+4z.

Resposta

(T+S)(x,y,z) = (2x,;x+3y,;x+y+4z)

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