Seja
o espaço vetorial (com as operações pontuais de espaços de funções) dos polinômios de ordem
com coeficientes reais (ver Exercício 11 ® da Lista 1), e
a base canônica de
.
a.) Mostre que se
são vetores em
, então
b.) Mostre que
define um produto escalar em
. (Dica: use o Exercício 5. Para provar que
implica
, notar que a primeira identidade implica, pelo Exercício 5, que
se anula em qualquer ponto de
)
a.) Mostre que se
Passo 1
O enunciado define o espaço vetorial
e o produto interno
.
Na parte (a) queremos expressar esse integral em função dos coeficientes e
. Na parte (b) precisamos verificar que isso satisfaz as três propriedades de um produto escalar: simetria, bilinearidade e positividade definida.
e o produto interno
Na parte (a) queremos expressar esse integral em função dos coeficientes
Passo 2
Escrevemos o produto ponto a ponto e usamos a linearidade da integral. Se
então
e, por linearidade,
Passo 3
Basta calcular
Logo obtemos
Passo 4
Agora mostramos as propriedades de produto escalar:
Simetria:
Bilinearidade:
Para quaisquer e escalar
, vale
e
,
pois a integral é linear.
Para quaisquer
e
pois a integral é linear.
Passo 5
Positividade definida:
pois
em
.
Se , então a função contínua
só pode ser zero em todo ponto de
, senão existiria um subintervalo onde seria estritamente positiva e daria integral positiva. Logo
para todo
. Como
é um polinômio (grau
) e se anula em mais de
pontos, ele é identicamente zero em (Exercício
garante que um polinômio de grau
com
zeros distintos é o polinômio nulo).
Se
Resposta
a)
b)
Isso define um produto escalar porque é simétrico, bilinear e satisfaz para todo
, e
implica
.
Isso define um produto escalar porque é simétrico, bilinear e satisfaz