Seja V=mathscrP<= 2(R) doteqf: R R mid f(t)= a0+a1 t+a2 t^2, a0, a1, a2 in R o espaço vetorial (com as operações pontuais de espaços de funções) dos polinômios de ordem <= 2 com coeficientes reais (ver Exercício 11 ® da Lista 1), e S=fj+1(t)= t^j mid j=0,1,2 a base canônica de V.
a.) Mostre que se f(t)=a0+a1 t+a2 t^2, g(t)= b0+b1 t+b2 t^2 são vetores em V, então
lang<= f, grang<==integral0^1 f(t) g(t) d t=sumj, k=0^2 aj bkj+k+1
b.) Mostre que lang<= f, grang<= define um produto escalar em V. (Dica: use o Exercício 5. Para provar que lang<= f, frang<==0 implica f=0, notar que a primeira identidade implica, pelo Exercício 5, que f se anula em qualquer ponto de [0,1] )

Passo 1

O enunciado define o espaço vetorial

e o produto interno
.
Na parte (a) queremos expressar esse integral em função dos coeficientes e . Na parte (b) precisamos verificar que isso satisfaz as três propriedades de um produto escalar: simetria, bilinearidade e positividade definida.

Passo 2

Escrevemos o produto ponto a ponto e usamos a linearidade da integral. Se
f(t)=sumj=0^2 aj,t^j, g(t)=sumk=0^2 bk,t^k,
então
f(t),g(t) =sumj=0^2sumk=0^2 aj,bk,t^,j+k
e, por linearidade,
lang<= f,grang<= =integral0^1 f(t),g(t),dt =sumj=0^2sumk=0^2 aj,bk integral0^1 t^,j+k,dt

Passo 3

Basta calcular
integral0^1 t^,j+k,dt =l[t^,j+k+1j+k+1r]0^1 =1j+k+1
Logo obtemos
lang<= f,grang<= =sumj=0^2sumk=0^2 aj,bkj+k+1

Passo 4

Agora mostramos as propriedades de produto escalar:
Simetria:
lang<= f,grang<==integral0^1 f(t)g(t),dt =integral0^1 g(t)f(t),dt=lang<= g,frang<=
Bilinearidade:
Para quaisquer f1,f2,g e escalar alpha, vale
lang<= f1+f2,grang<= =lang<= f1,grang<=+lang<= f2,grang<=
e
lang<= alpha,f1,grang<= =alpha,lang<= f1,grang<=,
pois a integral é linear.

Passo 5

Positividade definida:
pois em .
Se , então a função contínua só pode ser zero em todo ponto de , senão existiria um subintervalo onde seria estritamente positiva e daria integral positiva. Logo para todo . Como é um polinômio (grau ) e se anula em mais de pontos, ele é identicamente zero em (Exercício garante que um polinômio de grau com zeros distintos é o polinômio nulo).

Resposta

a)
lang<= f,grang<= =integral0^1 f(t),g(t),dt =sumj=0^2sumk=0^2 aj,bkj+k+1
b)
Isso define um produto escalar porque é simétrico, bilinear e satisfaz lang<= f,frang<=>0 para todo fneq0, e lang<= f,frang<==0 implica f=0.

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