Mostre que um fóton progando-se no vácuo não pode se desintegrar em um par elétronpósitron. Mostre também que essa desintegração é possível na presença de uma partícula massiva com a qual o fóton possa interagir. Para ambos os casos, determine o valor de beta da TL do referencial inicial para o do centro de massa das partículas resultantes (Dica: no primeiro caso haverá um resultado absurdo para beta ).

Passo 1

O exercício é sobre um processo de decaimento de um fóton em um par elétron–pósitron e envolve conservação de energia e momento na relatividade especial. Primeiro vamos ver o caso em que o fóton está isolado no vácuo e mostrar que não existe referencial de centro de massa finito para esse decaimento; depois veremos o caso em que o fóton interage com uma partícula massiva inicial.

Passo 2

No vácuo o fóton tem quatro–momento P^mu = (E/c,,E/c,,0,,0). Para encontrar o referencial de centro de massa queremos uma transformação de Lorentz de velocidade beta c tal que o momento espacial no novo quadro seja nulo:
p' = gammal(p - betatfracEcr) = 0
onde p=E/c e gamma=1/raiz1-beta^2. Da equação acima segue
beta = p cE = E/c ;cE = 1

Passo 3

Como beta=1 corresponderia à velocidade da luz, vemos que não há referencial de centro de massa físico (resulta em velocidade lumínica). Isso mostra que o fóton no vácuo não pode decair em par elétron–pósitron respeitando conservação de energia e momento.

Passo 4

Agora suponha que o fóton colida com uma partícula massiva de massa M inicialmente em repouso. Os quatro–momentos iniciais são:
P^mugamma = l(E/c,,E/c,,0,,0r),
P^muM = l(Mc,,0,,0,,0r)

Passo 5

O quatro–momento total é
P^murm tot = P^mugamma + P^muM = l(Ec + Mc,;Ec,;0,;0r)

Passo 6

Para achar o referencial de centro de massa transformamos para um quadro de velocidade beta c tal que o momento espacial total seja zero:
0 = p'rm tot = gammal(Px - beta P0r) = gammal(tfracEc - betal(tfracEc + Mcr)r) Resolvendo para beta obtemos
beta = E/cE/c + Mc = EE + M c^2

Passo 7

Como 0, existe um referencial de centro de massa fisicamente acessível e o decaimento em par e^+e^- com emissão da partícula massiva é permitido pela conservação de energia e momento.

Resposta

Para o fóton isolado no vácuo obtém-se beta=1 (impossível na prática), e na presença de uma partícula massiva de massa M a velocidade do CM é beta=EE+Mc^2.

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