Mostre que um fóton progando-se no vácuo não pode se desintegrar em um par elétronpósitron. Mostre também que essa desintegração é possível na presença de uma partícula massiva com a qual o fóton possa interagir. Para ambos os casos, determine o valor de
da TL do referencial inicial para o do centro de massa das partículas resultantes (Dica: no primeiro caso haverá um resultado absurdo para
).
Passo 1
O exercício é sobre um processo de decaimento de um fóton em um par elétron–pósitron e envolve conservação de energia e momento na relatividade especial. Primeiro vamos ver o caso em que o fóton está isolado no vácuo e mostrar que não existe referencial de centro de massa finito para esse decaimento; depois veremos o caso em que o fóton interage com uma partícula massiva inicial.
Passo 2
No vácuo o fóton tem quatro–momento
. Para encontrar o referencial de centro de massa queremos uma transformação de Lorentz de velocidade
tal que o momento espacial no novo quadro seja nulo:
onde
e
. Da equação acima segue
Passo 3
Como
corresponderia à velocidade da luz, vemos que não há referencial de centro de massa físico (resulta em velocidade lumínica). Isso mostra que o fóton no vácuo não pode decair em par elétron–pósitron respeitando conservação de energia e momento.
Passo 4
Agora suponha que o fóton colida com uma partícula massiva de massa
inicialmente em repouso. Os quatro–momentos iniciais são:
Passo 5
O quatro–momento total é
Passo 6
Para achar o referencial de centro de massa transformamos para um quadro de velocidade
tal que o momento espacial total seja zero:
Passo 7
Como
, existe um referencial de centro de massa fisicamente acessível e o decaimento em par
com emissão da partícula massiva é permitido pela conservação de energia e momento.
Resposta
Para o fóton isolado no vácuo obtém-se
(impossível na prática), e na presença de uma partícula massiva de massa
a velocidade do CM é
.