Um observador reporta uma partícula massiva A com quadri-momento Egamma e um fóton com energia x se propagando na direção raiz3 / 2 c. (a) Determine o quadri-momento dessas partículas que outro observador que se afasta do primeiro com velocidade x na direção P^mu Pmu=m0^2 c^2 reportará. (b) Verifique o invariante de Lorentz para ambas as partículas em ambos os referenciais.

Passo 1

O enunciado pede para calcular, num referencial que se afasta com velocidade v=raiz32c ao longo de x, (a) os quatro-impulsos de: uma partícula massiva A com PA^mu=(EA/c,,EA/(2c),,EA/(2c),,0) e de um fóton de energia Egamma movendo-se em x; e (b) verificar que o invariante P^mu Pmu se mantém (igual a m0^2c^2 para A e a zero para o fóton) em ambos os referenciais. Para isso vamos usar a transformação de Lorentz para 4-vetores e calcular P^mu Pmu.

Passo 2

A transformação de Lorentz (boost) ao longo de x dá para um 4-vetor P^mu=(P^0,P^1,P^2,P^3):
P'^0=gammal(P^0-beta P^1r), P'^1=gammal(P^1-beta P^0r), P'^2=P^2, P'^3=P^3,
onde beta=v/c=tfracraiz32 e gamma=1/raiz1-beta^2=2.

Passo 3

Para a partícula A: inicialmente PA^0=EA/c e PA^1=EA/(2c). Então
PA'^0=2l(EAc-raiz32cdotEA2cr)=4-raiz32,EAc,
PA'^1=2l(EA2c-raiz32cdotEAcr)=(1-raiz3),EAc,
e as componentes transversais não mudam:
PA'^2=EA2c, PA'^3=0

Passo 4

Para o fóton: inicialmente Pgamma^0=Pgamma^1=Egamma/c. Logo
Pgamma'^0=2l(Egammac-raiz32cdotEgammacr)=(2-raiz3),Egammac,
Pgamma'^1=(2-raiz3),Egammac, Pgamma'^2=0, Pgamma'^3=0

Passo 5

Agora verificamos o invariante P^mu Pmu=(P^0c)^2-(P^1c)^2-(P^2c)^2-(P^3c)^2:
  • Para A, no referencial inicial:
(PA^mu PAmu)=EA^2-l(EA2r)^2-l(EA2r)^2=EA^22=m0^2c^4,
o que dá m0^2c^2=EA^2/(2c^2). No referencial movido obtém-se o mesmo valor EA^2/2.
  • Para o fóton, em qualquer referencial
Pgamma^mu Pgammamu=(Egamma)^2-(Egamma)^2=0

Resposta

a) Os quatro-impulsos no referencial em movimento são:
Para A:
PA'^mu=l(4-raiz32,EAc,,(1-raiz3),EAc,,EA2c,,0r)
Para o fóton:
Pgamma'^mu=l((2-raiz3),Egammac,,(2-raiz3),Egammac,,0,,0r)
b) O invariante de Lorentz dá sempre:
Para A: P^mu Pmu=EA^2/2=m0^2c^2 em ambos os referenciais;
Para o fóton: P^mu Pmu=0 em qualquer referencial.

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