Seja
a) Mostre, utilizando a relação de fechamento para o espectro contínuo, que
b) Obtenha os coeficientes
da expansão acima.
c) Considere o operador momento dado pela relação
mostre que
d) Sabendo que
, utilizando a relação de fechamento na representação dos momentos, e a partir do resultado do item c) acima, mostre que
.
a) Mostre, utilizando a relação de fechamento para o espectro contínuo, que
c) Considere o operador momento dado pela relação
d) Sabendo que
Passo 1
O enunciado pede a expansão de um estado
nas bases contínuas de posição e momento, usando a relação de fechamento, e depois determinar a forma explícita e a normalização da função de onda
. Vamos precisar de:
– a relação de fechamento no espaço de momentos
– a relação de fechamento no espaço de momentos
– a definição dos coeficientes de expansão
e
,
– a representação do operador momento em ,
– a representação do operador momento em
Passo 2
Para mostrar o item (a), inserimos a identidade na forma de fechamento em momentos entre
e
:
Passo 3
No item (b), estamos simplesmente identificando o coeficiente da expansão em momento. Por definição,
que é justamente o segundo fator sob o integral da resposta do item (a).
Passo 4
Para o item (c), usamos que
é autovetor de
com autovalor
. Assim,
Isto é uma equação diferencial simples:
cuja solução geral é
com
constante de normalização.
Passo 5
No item (d), impomos a delta-normalização em
:
Substituindo
e
, obtemos
o que exige
. Escolhendo
real e positivo,
Resposta
a)
b)
c)
d)
b)
c)
d)