Seja \psi_{\alpha}\left(x^{\prime}\right)=\left\langle x^{\prime} \mid \alpha\right\rangle
a) Mostre, utilizando a relação de fechamento para o espectro contínuo, que
\psi_{\alpha}\left(x^{\prime}\right)=\int_{-\infty}^{\infty} d p^{\prime}\left\langle x^{\prime} \mid p^{\prime}\right\rangle\left\langle p^{\prime} \mid \alpha\right\rangle
b) Obtenha os coeficientes \phi_{\alpha}\left(p^{\prime}\right)=\left\langle p^{\prime} \mid \alpha\right\rangle da expansão acima.
c) Considere o operador momento dado pela relação
\hat{P}\left\langle x^{\prime} \mid p^{\prime}\right\rangle=-i \hbar \frac{\partial}{\partial x^{\prime}}\left(\left\langle x^{\prime} \mid p^{\prime}\right\rangle\right)
mostre que \left\langle x^{\prime} \mid p^{\prime}\right\rangle=N \mathrm{e}^{\frac{i p^{\prime} x^{\prime}}{\hbar}}
d) Sabendo que \left\langle x^{\prime} \mid x^{\prime}{ }^{\prime}\right\rangle=\delta\left(x^{\prime}-x^{\prime}{ }^{\prime}\right), utilizando a relação de fechamento na representação dos momentos, e a partir do resultado do item c) acima, mostre que N=\frac{1}{\sqrt{2 \pi \hbar}}.

Passo 1

O enunciado pede a expansão de um estado \lvert \alpha\rangle nas bases contínuas de posição e momento, usando a relação de fechamento, e depois determinar a forma explícita e a normalização da função de onda \langle x'\mid p'\rangle. Vamos precisar de:
– a relação de fechamento no espaço de momentos
\int_{-\infty}^{\infty}dp'\,\lvert p'\rangle\langle p'\rvert = \hat 1,
– a definição dos coeficientes de expansão \psi_{\alpha}(x')=\langle x'\mid\alpha\rangle e \phi_{\alpha}(p')=\langle p'\mid\alpha\rangle,
– a representação do operador momento em x,
\hat P\,\langle x'\mid p'\rangle=-i\hbar\,\frac{\partial}{\partial x'}\langle x'\mid p'\rangle.

Passo 2

Para mostrar o item (a), inserimos a identidade na forma de fechamento em momentos entre \langle x'\rvert e \lvert \alpha\rangle:
\psi_{\alpha}(x') =\langle x'\mid\alpha\rangle =\langle x'\mid \biggl(\int_{-\infty}^\infty dp'\,\lvert p'\rangle\langle p'\rvert\biggr)\mid\alpha\rangle =\int_{-\infty}^\infty dp'\,\langle x'\mid p'\rangle\langle p'\mid\alpha\rangle.

Passo 3

No item (b), estamos simplesmente identificando o coeficiente da expansão em momento. Por definição,
\phi_{\alpha}(p')=\langle p'\mid\alpha\rangle,
que é justamente o segundo fator sob o integral da resposta do item (a).

Passo 4

Para o item (c), usamos que \lvert p'\rangle é autovetor de \hat P com autovalor p'. Assim,
\hat P\,\langle x'\mid p'\rangle =-i\hbar\,\frac{\partial}{\partial x'}\langle x'\mid p'\rangle = p'\,\langle x'\mid p'\rangle.
Isto é uma equação diferencial simples:
-i\hbar\,\frac{d}{dx'}f(x')=p'\,f(x'),
cuja solução geral é
\langle x'\mid p'\rangle = N\,e^{\frac{i p' x'}{\hbar}},
com N constante de normalização.

Passo 5

No item (d), impomos a delta-normalização em x:
\langle x'\mid x''\rangle =\delta(x'-x'') =\int_{-\infty}^\infty dp'\,\langle x'\mid p'\rangle\langle p'\mid x''\rangle.
Substituindo \langle x'\mid p'\rangle=N e^{\frac{i p' x'}{\hbar}} e \langle p'\mid x''\rangle=N^* e^{-\frac{i p' x''}{\hbar}}, obtemos
\delta(x'-x'') =|N|^2\int_{-\infty}^\infty dp'\,e^{\frac{i p'}{\hbar}(x'-x'')} =|N|^2\,2\pi\hbar\,\delta(x'-x''),
o que exige |N|^2\,2\pi\hbar=1. Escolhendo N real e positivo,
N=\frac{1}{\sqrt{2\pi\hbar}}.

Resposta

a) \psi_{\alpha}(x')=\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}dp'\,\langle x'\mid p'\rangle\langle p'\mid\alpha\rangle
b) \phi_{\alpha}(p')=\langle p'\mid\alpha\rangle
c) \langle x'\mid p'\rangle=N\,e^{\frac{i p' x'}{\hbar}}
d) N=\displaystyle\frac{1}{\sqrt{2\pi\hbar}}

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