Mostre que
onde
é o volume limitado pela superficic fechada
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar a igualdade
onde
é o volume limitado pela superfície fechada
. As informações dadas e o que está sendo pedido são:
-
é uma superfície fechada e orientada externamente (ou seja, os vetores apontam para fora). -
é o volume interior a . -
é o vetor posição cujo ponto genérico tem coordenadas , isto é . - Precisamos mostrar que dividir por
a integral de superfície do produto escalar dá exatamente o volume .
Passo 2
Vamos entender bem os objetos envolvidos:
- O vetor posição
é, em coordenadas cartesianas,
Aqui
são as coordenadas do ponto no espaço e
são os vetores unitários das direções
.
- O elemento de área vetorial
representa um pequeno pedaço de superfície em com magnitude igual à área desse pedaço e direção dada pelo vetor normal unitário externo à superfície naquele ponto. Em notação comum, , onde é a área escalar e é o normal unitário apontando para fora.
Então a integral de superfície
é a soma (fluxo) do campo
através de
.
Passo 3
Apresento o operador divergência e calculo a divergência de
.
- A divergência de um campo vetorial
é definida por
Isto mede, em cada ponto, a “taxa de saída” do campo — se há fontes (positivo) ou sumidouros (negativo).
- Aplicando essa definição ao campo
, temos , , . Portanto
Expliquei cada derivada:
porque quando derivamos a coordenada
em relação a si mesma obtemos 1, e o mesmo para
e
.
Passo 4
Enunciado do teorema que vamos usar (forma prática e intuitiva):
- Teorema da divergência (Gauss): para um campo vetorial
suficientemente suave definido numa região que contém com fronteira fechada ,
Interpretação simples: o fluxo total de
através da superfície
é igual à integral, sobre o volume, da divergência de
(a quantidade total de “fontes” dentro do volume).
- Condição prática:
deve ser diferenciável no interior de e deve ser uma superfície fechada e bem comportada (o enunciado já supõe isso).
Passo 5
Aplicação direta do teorema da divergência ao campo que interessa:
- Considere o campo
Isso é só uma constante multiplicando
. Pela linearidade da divergência,
- Agora aplicamos o teorema da divergência:
- A integral
é simplesmente a medida do volume de , isto é
- Portanto obtemos exatamente
Passo 6
Um pequeno cheque para ganhar confiança (exemplo concreto):
- Tome
como a esfera de raio centrada na origem. No ponto da superfície, tem módulo e direção radial, igual ao normal externo . Então . - A integral de superfície é
. - Dividindo por
dá , que é o volume da esfera — bate certinho com a fórmula geral que demonstramos.
Passo 7
Conclusão final: usando que
e o teorema da divergência aplicado a
, vemos que a integral de superfície dada é igual ao volume
. Mandou bem por querer entender passo a passo — é exatamente assim que cai na prova: identificar o campo, calcular a divergência e aplicar Gauss. Vai firme!