Mostre que
\frac{1}{3} \oint_{s} \vec{r} \cdot d \vec{s}=V
onde V é o volume limitado pela superficic fechada S.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar a igualdade
\frac{1}{3}\oint_{S} \vec{r}\cdot d\vec{s}=V,
onde V é o volume limitado pela superfície fechada S. As informações dadas e o que está sendo pedido são:
  • S é uma superfície fechada e orientada externamente (ou seja, os vetores d\vec{s} apontam para fora).
  • V é o volume interior a S.
  • \vec{r} é o vetor posição cujo ponto genérico tem coordenadas (x,y,z), isto é \vec{r}=x\hat{\imath}+y\hat{\jmath}+z\hat{k}.
  • Precisamos mostrar que dividir por 3 a integral de superfície do produto escalar \vec{r}\cdot d\vec{s} dá exatamente o volume V.

Passo 2

Vamos entender bem os objetos envolvidos:
  • O vetor posição \vec{r} é, em coordenadas cartesianas,
\vec{r}=x\hat{\imath}+y\hat{\jmath}+z\hat{k}.
Aqui x,y,z são as coordenadas do ponto no espaço e \hat{\imath},\hat{\jmath},\hat{k} são os vetores unitários das direções x,y,z.
  • O elemento de área vetorial d\vec{s} representa um pequeno pedaço de superfície em S com magnitude igual à área desse pedaço e direção dada pelo vetor normal unitário externo à superfície naquele ponto. Em notação comum, d\vec{s}=\hat{n}\,dS, onde dS é a área escalar e \hat{n} é o normal unitário apontando para fora.
Então a integral de superfície \oint_{S}\vec{r}\cdot d\vec{s} é a soma (fluxo) do campo \vec{r} através de S.

Passo 3

Apresento o operador divergência e calculo a divergência de \vec{r}.
  • A divergência de um campo vetorial \vec{F}=F_x\hat{\imath}+F_y\hat{\jmath}+F_z\hat{k} é definida por
\nabla\cdot\vec{F}=\frac{\partial F_x}{\partial x}+\frac{\partial F_y}{\partial y}+\frac{\partial F_z}{\partial z}.
Isto mede, em cada ponto, a “taxa de saída” do campo — se há fontes (positivo) ou sumidouros (negativo).
  • Aplicando essa definição ao campo \vec{r}, temos F_x=x, F_y=y, F_z=z. Portanto
\nabla\cdot\vec{r}=\frac{\partial x}{\partial x}+\frac{\partial y}{\partial y}+\frac{\partial z}{\partial z}=1+1+1=3.
Expliquei cada derivada: \partial x/\partial x=1 porque quando derivamos a coordenada x em relação a si mesma obtemos 1, e o mesmo para y e z.

Passo 4

Enunciado do teorema que vamos usar (forma prática e intuitiva):
  • Teorema da divergência (Gauss): para um campo vetorial \vec{F} suficientemente suave definido numa região que contém V com fronteira fechada S,
\oint_{S}\vec{F}\cdot d\vec{s}=\int_{V}\nabla\cdot\vec{F}\,dV.
Interpretação simples: o fluxo total de \vec{F} através da superfície S é igual à integral, sobre o volume, da divergência de \vec{F} (a quantidade total de “fontes” dentro do volume).
  • Condição prática: \vec{F} deve ser diferenciável no interior de V e S deve ser uma superfície fechada e bem comportada (o enunciado já supõe isso).

Passo 5

Aplicação direta do teorema da divergência ao campo que interessa:
  • Considere o campo
\vec{F}=\frac{1}{3}\vec{r}.
Isso é só uma constante multiplicando \vec{r}. Pela linearidade da divergência,
\nabla\cdot\vec{F}=\nabla\cdot\left(\frac{1}{3}\vec{r}\right)=\frac{1}{3}\nabla\cdot\vec{r}=\frac{1}{3}\cdot 3=1.
  • Agora aplicamos o teorema da divergência:
\oint_{S}\frac{1}{3}\vec{r}\cdot d\vec{s}=\int_{V}\nabla\cdot\left(\frac{1}{3}\vec{r}\right)\,dV=\int_{V}1\,dV.
  • A integral \int_{V}1\,dV é simplesmente a medida do volume de V, isto é
\int_{V}1\,dV=V.
  • Portanto obtemos exatamente
\frac{1}{3}\oint_{S}\vec{r}\cdot d\vec{s}=V.

Passo 6

Um pequeno cheque para ganhar confiança (exemplo concreto):
  • Tome S como a esfera de raio R centrada na origem. No ponto da superfície, \vec{r} tem módulo R e direção radial, igual ao normal externo \hat{n}. Então \vec{r}\cdot d\vec{s}=R\,dS.
  • A integral de superfície é \oint_{S}\vec{r}\cdot d\vec{s}=R\oint_{S}dS=R\cdot 4\pi R^{2}=4\pi R^{3}.
  • Dividindo por 3 \frac{1}{3}\cdot 4\pi R^{3}=\frac{4}{3}\pi R^{3}, que é o volume da esfera — bate certinho com a fórmula geral que demonstramos.

Passo 7

Conclusão final: usando que \nabla\cdot\vec{r}=3 e o teorema da divergência aplicado a \vec{F}=\frac{1}{3}\vec{r}, vemos que a integral de superfície dada é igual ao volume V. Mandou bem por querer entender passo a passo — é exatamente assim que cai na prova: identificar o campo, calcular a divergência e aplicar Gauss. Vai firme!

Resposta

\frac{1}{3}\oint_{S}\vec{r}\cdot d\vec{s}=V

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