Mostre que a função [A
pode ser escrita como
e determine a relação entre
e
. Encontre a relação de
e
com a posição e velocidade iniciais.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você me pediu para mostrar como a função $ A \cos (\omega t + \varphi) $ pode ser escrita como $ A_{1} \sin(\omega t) + A_{2} \cos (\omega t) $. Isso envolve trigonometria, especificamente a expansão de uma função cosseno com fase. Para resolver isso, a gente vai usar identidades trigonométricas e um pouco de álgebra.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar da identidade trigonométrica que permite expandir um cosseno com uma fase:
Essa identidade é super útil para reescrever nossa função original.
Passo 3
Agora, multiplicamos ambos os lados da identidade por $ A $:
Perceba que isso já está na forma que queremos: uma combinação de seno e cosseno de $ \omega t $.
Passo 4
Vamos chamar os coeficientes das funções seno e cosseno de $ A_{1} $ e $ A_{2} $, respectivamente:
Então, podemos escrever:
Passo 5
Agora, precisamos encontrar a relação entre $ A $, $ \varphi $, $ A_{1} $ e $ A_{2} $. Já vimos que:
Podemos também expressar $ A $ e $ \varphi $ em termos de $ A_{1} $ e $ A_{2} $ usando o Teorema de Pitágoras e a função tangente:
Passo 6
Por fim, para relacionar $ A_{1} $ e $ A_{2} $ com a posição e velocidade iniciais, vamos considerar as condições iniciais $ t = 0 $:
A posição inicial $ x(0) $ é:
A velocidade inicial $ v(0) $ é a derivada de $ x(t) $:
Então, em $ t = 0 $:
Isso nos dá:
Resposta
Portanto, a função $ A \cos (\omega t + \varphi) $ pode ser escrita como $ A_{1} \sin (\omega t) + A_{2} \cos (\omega t) $, onde:
E a relação entre $ A $, $ \varphi $, $ A_{1} $ e $ A_{2} $ é: