Mostre que a função [A cos (omega t+varphi)] pode ser escrita como [A1 sen(omega t)+A2 cos (omega t)] e determine a relação entre A, varphi, A1 e A2. Encontre a relação de A1 e A2 com a posição e velocidade iniciais.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me pediu para mostrar como a função $ A \cos (\omega t + \varphi) $ pode ser escrita como $ A_{1} \sin(\omega t) + A_{2} \cos (\omega t) $. Isso envolve trigonometria, especificamente a expansão de uma função cosseno com fase. Para resolver isso, a gente vai usar identidades trigonométricas e um pouco de álgebra.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar da identidade trigonométrica que permite expandir um cosseno com uma fase:
cos (omega t + varphi) = cos varphi cos omega t - sin varphi sin omega t
Essa identidade é super útil para reescrever nossa função original.

Passo 3

Agora, multiplicamos ambos os lados da identidade por $ A $:
A
Perceba que isso já está na forma que queremos: uma combinação de seno e cosseno de $ \omega t $.

Passo 4

Vamos chamar os coeficientes das funções seno e cosseno de $ A_{1} $ e $ A_{2} $, respectivamente:
A1
A2
Então, podemos escrever:
A1 = -A sin varphi

Passo 5

Agora, precisamos encontrar a relação entre $ A $, $ \varphi $, $ A_{1} $ e $ A_{2} $. Já vimos que:
A
varphi
Podemos também expressar $ A $ e $ \varphi $ em termos de $ A_{1} $ e $ A_{2} $ usando o Teorema de Pitágoras e a função tangente:
A1
A2

Passo 6

Por fim, para relacionar $ A_{1} $ e $ A_{2} $ com a posição e velocidade iniciais, vamos considerar as condições iniciais $ t = 0 $:
A posição inicial $ x(0) $ é:
A1
A velocidade inicial $ v(0) $ é a derivada de $ x(t) $:
A2
Então, em $ t = 0 $:
t = 0
Isso nos dá:
x(0)
x(0) = A1 sin(0) + A2 cos(0) = A2

Resposta

Portanto, a função $ A \cos (\omega t + \varphi) $ pode ser escrita como $ A_{1} \sin (\omega t) + A_{2} \cos (\omega t) $, onde:
A cos (omega t + varphi)
A1 sin (omega t) + A2 cos (omega t)
E a relação entre $ A $, $ \varphi $, $ A_{1} $ e $ A_{2} $ é:
A1 = v(0)omega
A2 = x(0)

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