Uma partícula move-se em uma trajetória circular de raio 40 cm com velocidade constante de 80 cm / s. Encontre © Escreva a equação da componente x de seu movimento bidimensional em função do tempo assumindo que em t=0 o vetor posição partícula a partir do centro da circunferência fazia um ângulo de 30^circ com a direção horizontal.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma partícula que está se movendo em uma trajetória circular com raio de 40 cm e velocidade constante de 80 cm/s. O enunciado pede para a gente encontrar a equação da componente $ x $ do movimento dessa partícula em função do tempo, sabendo que no tempo $ t = 0 $, o vetor posição formava um ângulo de $ 30^\circ $ com a direção horizontal. Vamos usar conceitos de movimento circular uniforme para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que no movimento circular, a posição da partícula pode ser descrita pelas funções trigonométricas seno e cosseno. A componente $ x(t) $ vai representar a posição horizontal da partícula em qualquer instante de tempo $ t $.

Passo 3

Para encontrar a equação de $ x(t) $, precisamos determinar a velocidade angular $ \omega $ da partícula. A velocidade angular está relacionada com a velocidade linear $ v $ e o raio $ R $ da circunferência pela fórmula:
x(t)
Aqui, $ v = 80 , cm/s $ e $ R = 40 , cm $.

Passo 4

Vamos calcular $ \omega $:
omega
Então, a velocidade angular da partícula é de $ 2 , rad/s $.

Passo 5

Agora, sabemos que a posição $ x(t) $ em um movimento circular é dada por:
x(t)
Onde $ \theta_0 $ é o ângulo inicial no tempo $ t = 0 $. No caso, $ \theta_0 = 30^\circ $.

Passo 6

Substituindo os valores que temos na equação:
x(t) = 40 cos(2t + 30^circ)
Aqui, o raio $ R = 40 , cm $, $ \omega = 2 , rad/s $, e $ \theta_0 = 30^\circ $.

Resposta

A equação da componente $ x $ do movimento da partícula é:
x

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