Uma partícula move-se em uma trajetória circular de raio 40 cm com velocidade constante de
. Encontre © Escreva a equação da componente
de seu movimento bidimensional em função do tempo assumindo que em
o vetor posição partícula a partir do centro da circunferência fazia um ângulo de
com a direção horizontal.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma partícula que está se movendo em uma trajetória circular com raio de 40 cm e velocidade constante de 80 cm/s. O enunciado pede para a gente encontrar a equação da componente $ x $ do movimento dessa partícula em função do tempo, sabendo que no tempo $ t = 0 $, o vetor posição formava um ângulo de $ 30^\circ $ com a direção horizontal. Vamos usar conceitos de movimento circular uniforme para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos entender que no movimento circular, a posição da partícula pode ser descrita pelas funções trigonométricas seno e cosseno. A componente $ x(t) $ vai representar a posição horizontal da partícula em qualquer instante de tempo $ t $.
Passo 3
Para encontrar a equação de $ x(t) $, precisamos determinar a velocidade angular $ \omega $ da partícula. A velocidade angular está relacionada com a velocidade linear $ v $ e o raio $ R $ da circunferência pela fórmula:
Aqui, $ v = 80 , cm/s $ e $ R = 40 , cm $.
Passo 4
Vamos calcular $ \omega $:
Então, a velocidade angular da partícula é de $ 2 , rad/s $.
Passo 5
Agora, sabemos que a posição $ x(t) $ em um movimento circular é dada por:
Onde $ \theta_0 $ é o ângulo inicial no tempo $ t = 0 $. No caso, $ \theta_0 = 30^\circ $.
Passo 6
Substituindo os valores que temos na equação:
Aqui, o raio $ R = 40 , cm $, $ \omega = 2 , rad/s $, e $ \theta_0 = 30^\circ $.
Resposta
A equação da componente $ x $ do movimento da partícula é: