Mostre que a função abaixo é contínua em z0=(1+i raiz3) / 2,
f(z)= z^3-1z^2+z+1, & se |z| neq 1, -1+i raiz32, & se |z|=1

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a função
f(z)=z^3-1z^2+z+1,&|z|neq1,[6pt]-1+iraiz32,&|z|=1
é contínua em z0=(1+iraiz3)/2. O conteúdo aqui é continuidade de função complexa, e vamos precisar verificar que
limzto z0f(z)=f(z0).

Passo 2

Note que |z0|=1, então o valor dado pela definição é
f(z0)=-1+iraiz32

Passo 3

Para z próximo de z0 com |z|neq1, temos ramo racional contínuo, pois o denominador
z^2+z+1 não se anula em z0. Logo
limzto z0f(z)=z0^3-1z0^2+z0+1

Passo 4

Calculemos z0^3: como z0=e^ipi/3,
z0^3=e^ipi=-1,
então o numerador é -1-1=-2.
Agora o denominador:
z0^2+z0+1=e^i2pi/3+e^ipi/3+1=(-1/2+iraiz3/2)+(1/2+iraiz3/2)+1=1+iraiz3

Passo 5

Assim
limzto z0f(z)=-21+iraiz3=-1+iraiz32,que coincide com f(z0). Portanto a continuidade em z0 está garantida.

Resposta

Como
limzto z0f(z)=-1+iraiz32=f(z0),
f é contínua em z0.

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