Mostre que a função g(x, y)=ccccx^2+y^21-cos raizx^2+y^2, & (x, y) neq(0,0) 2 & (x, y)=(0,0) é contínua na origem (0,0).

Passo 1

Beleza, vamos resolver um exercício de continuidade de função em duas variáveis. A gente precisa mostrar que a função $ g(x, y) $ é contínua na origem g(x, y) . Para isso, vamos utilizar conceitos de limites e continuidade para funções de duas variáveis.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa a função ser contínua na origem. Em termos simples, isso quer dizer que o limite de $ g(x, y) $ quando g(x, y) se aproxima de (x, y) deve ser igual ao valor da função nesse ponto, ou seja, $ g(0,0) = 2 $.

Passo 3

Vamos calcular o limite de $ g(x, y) $ quando g(x, y) se aproxima de (x, y). Para simplificar, usamos coordenadas polares, onde $ x = r \cos \theta $ e $ y = r \sin \theta $. Assim, $ x^2 + y^2 = r^2 $ e $ \sqrt{x^2 + y^2} = r $.

Passo 4

Substituindo na função, temos:
g(r, theta) = r^21 - cos r
Agora, nosso objetivo é calcular o limite de $ g(r, \theta) $ quando $ r $ se aproxima de 0.

Passo 5

Sabemos que, para valores pequenos de $ r $, a expansão de $ \cos r $ é:
r
Então, $ 1 - \cos r \approx \frac{r^2}{2} - \frac{r^4}{24} $. Para $ r $ muito pequeno, podemos negligenciar termos de ordem maior, então:
cos r

Passo 6

Substituindo essa aproximação na função $ g(r, \theta) $:
g(r, theta)

Passo 7

Portanto, o limite de $ g(x, y) $ quando g(x, y) se aproxima de (x, y) é 2, que é exatamente o valor de $ g(0,0) $. Isso comprova que a função é contínua na origem.

Resposta

A função $ g(x, y) $ é contínua na origem g(x, y) porque o limite de $ g(x, y) $ quando (0,0) se aproxima de g(x, y) é igual a $ g(0,0) = 2 $.

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