Mostre que a função
é contínua na origem
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver um exercício de continuidade de função em duas variáveis. A gente precisa mostrar que a função $ g(x, y) $ é contínua na origem
. Para isso, vamos utilizar conceitos de limites e continuidade para funções de duas variáveis.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa a função ser contínua na origem. Em termos simples, isso quer dizer que o limite de $ g(x, y) $ quando
se aproxima de
deve ser igual ao valor da função nesse ponto, ou seja, $ g(0,0) = 2 $.
Passo 3
Vamos calcular o limite de $ g(x, y) $ quando
se aproxima de
. Para simplificar, usamos coordenadas polares, onde $ x = r \cos \theta $ e $ y = r \sin \theta $. Assim, $ x^2 + y^2 = r^2 $ e $ \sqrt{x^2 + y^2} = r $.
Passo 4
Substituindo na função, temos:
Agora, nosso objetivo é calcular o limite de $ g(r, \theta) $ quando $ r $ se aproxima de 0.
Passo 5
Sabemos que, para valores pequenos de $ r $, a expansão de $ \cos r $ é:
Então, $ 1 - \cos r \approx \frac{r^2}{2} - \frac{r^4}{24} $. Para $ r $ muito pequeno, podemos negligenciar termos de ordem maior, então:
Passo 6
Substituindo essa aproximação na função $ g(r, \theta) $:
Passo 7
Portanto, o limite de $ g(x, y) $ quando
se aproxima de
é 2, que é exatamente o valor de $ g(0,0) $. Isso comprova que a função é contínua na origem.
Resposta
A função $ g(x, y) $ é contínua na origem
porque o limite de $ g(x, y) $ quando
se aproxima de
é igual a $ g(0,0) = 2 $.