Verifique se cada um dos limites existe:
Passo 1
O enunciado pede o limite da função de duas variáveis
quando
.
O conteúdo aqui é limite em e vamos usar um argumento de encadeamento (squeeze theorem) junto com uma prova
–
.
O conteúdo aqui é limite em
Passo 2
Observamos que para todo
vale
logo
Além disso, como
raizx^2+y^2 é a distância ao ponto
(0,0) , temos
Combinando,
Passo 3
Para provar formalmente que
f(x,y)to0 , seja arbitrário
varepsilon>0 .
Escolhemos
Escolhemos
Se
raizx^2+y^2<de<a , então
Isso monta a prova
varepsilon –
de<a do limite.
Passo 4
Como
l|f(x,y)r| fica arbitrariamente pequeno quando
(x,y) se aproxima de
(0,0) , concluímos que o limite existe e vale 0.