Verifique se cada um dos limites existe:
lim (x, y) (0,0) y sen(1x)

Passo 1

O enunciado pede o limite da função de duas variáveis
f(x,y)=y,sen!l(tfrac1xr)
quando (x,y)to(0,0).
O conteúdo aqui é limite em R^2 e vamos usar um argumento de encadeamento (squeeze theorem) junto com uma prova varepsilon de<a.

Passo 2

Observamos que para todo xneq0 vale
-1<= sen!l(tfrac1xr)<=1,
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l|y,sen!l(tfrac1xr)r|<= |y|
Além disso, como raizx^2+y^2 é a distância ao ponto (0,0), temos
|y|<= raizx^2+y^2
Combinando,
l|f(x,y)r|<= raizx^2+y^2

Passo 3

Para provar formalmente que f(x,y)to0, seja arbitrário varepsilon>0.
Escolhemos
de<a=varepsilon
Se raizx^2+y^2<de<a, então
l|f(x,y)-0r|=l|f(x,y)r|<= raizx^2+y^2<de<a=varepsilon
Isso monta a prova varepsilon de<a do limite.

Passo 4

Como l|f(x,y)r| fica arbitrariamente pequeno quando (x,y) se aproxima de (0,0), concluímos que o limite existe e vale 0.

Resposta

lim(x,y)to(0,0)y,sen!l(tfrac1xr)=0

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