Mostre que a função lang<=cdot, cdotrang<=: R^2 times R^2 longrightarrow R dada por
lang<=(a, b),(x, y)rang<==2 a x+25 b y
é um produto interno de R^2. Considerando este produto interno, determine a norma dos vetores (1,0) e (0,1) (Norma induzida pelo produto interno).

Passo 1

O enunciado pede para mostrarmos que a aplicação \r
lang<=cdot,cdotrang<=:R^2timesR^2toR, lang<=(a,b),(x,y)rang<==2ax+25by\r
é um produto interno em R^2, e em seguida determinar a norma induzida por esse produto interno nos vetores (1,0) e (0,1). \r
Vamos usar as definições de produto interno (bilinearidade, simetria e positividade) e depois a fórmula da norma \r
|v|=raizlang<= v,vrang<=

Passo 2

Verificamos primeiro que lang<=cdot,cdotrang<= é bilinear e simétrica. Seja (a,b),(a',b'),(x,y)inR^2 e lambdainR. Então\r
lang<=lambda(a,b)+(a',b'),(x,y)rang<= =2(lambda a+a')x+25(lambda b+b')y =lambdal(2ax+25byr)+(2a'x+25b'y) =lambdalang<=(a,b),(x,y)rang<=+lang<=(a',b'),(x,y)rang<=
Analogamente mostra-se linearidade na segunda variável. Para a simetria, trocando os pares:\r
lang<=(a,b),(x,y)rang<= =2ax+25by =2xa+25yb =lang<=(x,y),(a,b)rang<=

Passo 3

Mostramos positividade: para todo (a,b)inR^2,\r
lang<=(a,b),(a,b)rang<= =2a^2+25b^2>=0,
e essa soma é zero só se a=0 e b=0. Logo é positivo-definido. Portanto lang<=cdot,cdotrang<= é produto interno.

Passo 4

A norma induzida é |v|=raizlang<= v,vrang<=. Logo\r
|(1,0)| =raizlang<=(1,0),(1,0)rang<= =raiz2cdot1^2+25cdot0^2 =raiz2,
|(0,1)| =raizlang<=(0,1),(0,1)rang<= =raiz2cdot0^2+25cdot1^2 =5

Resposta

|(1,0)|=raiz2 e |(0,1)|=5.

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