Mostre que a função
dada por
é um produto interno de
. Considerando este produto interno, determine a norma dos vetores
e
(Norma induzida pelo produto interno).
Passo 1
O enunciado pede para mostrarmos que a aplicação \r
é um produto interno em
, e em seguida determinar a norma induzida por esse produto interno nos vetores
e
. \r
Vamos usar as definições de produto interno (bilinearidade, simetria e positividade) e depois a fórmula da norma \r
Vamos usar as definições de produto interno (bilinearidade, simetria e positividade) e depois a fórmula da norma \r
Passo 2
Verificamos primeiro que
é bilinear e simétrica. Seja
e
. Então\r
Analogamente mostra-se linearidade na segunda variável. Para a simetria, trocando os pares:\r
Passo 3
Mostramos positividade: para todo
,\r
e essa soma é zero só se
e
. Logo é positivo-definido. Portanto
é produto interno.
Passo 4
A norma induzida é
. Logo\r